Calcular a vazão de água num conduto de ferro fundido, sendo dados \mathrm{D}=10 \mathrm{~cm}, \mathrm{v}= 0,7 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e sabendo-se que dois manômetros instalados a uma distância de 1000 m indicam, respectivamente, 0,15 \mathrm{MPa} e 0,14 \mathrm{MPa} ( \gamma_{\text {нго }}=10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}нго ). R: 0,012 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá: diâmetro do conduto D=0{,}10\\ \mathrm{m}, viscosidade cinemática \nu=0{,}7\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, distância entre os manômetros L=1000\\ \mathrm{m}, pressões indicadas p_1=0{,}15\\ \mathrm{MPa} e p_2=0{,}14\\ \mathrm{MPa}, e peso específico do fluido \gamma=10^{4}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3.
O que é pedido: calcular a vazão volumétrica Q de água que está fluindo no conduto.
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &D=0{,}10\\ \mathrm{m},\\\ &\nu=0{,}7\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s},\\\ &L=1000\\ \mathrm{m},\\\ &p_1=0{,}15\\ \mathrm{MPa},\quad p_2=0{,}14\\ \mathrm{MPa},\\\ &\gamma=10^{4}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3. \end{aligned}

Passo 2

Vamos ligar a diferença de pressão com a perda de carga e com a velocidade do escoamento. A equação de Bernoulli (entre dois pontos com mesma cota e desprezando variações de energia além da perda por atrito) indica:
\frac{p_1}{\gamma} = \frac{p_2}{\gamma} + h_f,
onde h_f é a perda de carga (em metros) entre os pontos. Assim
h_f = \frac{p_1-p_2}{\gamma}.
Esta é a parte simples: converter a diferença de pressão em metros de coluna de fluido usando o peso específico \gamma.

Passo 3

Calcular numericamente a perda de carga h_f.
A diferença de pressão é \Delta p = p_1-p_2 = 0{,}01\\ \mathrm{MPa} = 10\,000\\ \mathrm{Pa}. Logo
h_f = \frac{\Delta p}{\gamma} = \frac{10\,000\\ \mathrm{Pa}}{10^{4}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^3}=1{,}0\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: entre os dois pontos há 1 metro de perda de carga ao longo de L=1000\\ \mathrm{m}, ou seja a inclinação de energia é S=h_f/L=0{,}001.

Passo 4

Relacionar perda de carga com velocidade usando a fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde f é o fator de atrito de Darcy (adimensional), V é a velocidade média (m/s) e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2. A vazão volumétrica Q está relacionada a V por
Q = A\,V,\qquad A=\frac{\pi D^2}{4}.
Nosso objetivo será determinar V (e então Q). Reescrevendo para V:
V = \sqrt{\frac{2g\,h_f}{f\,\dfrac{L}{D}}}=\sqrt{\frac{2g\,h_f\,D}{f\,L}}.
Mas f depende de \mathrm{Re}=\dfrac{V D}{\nu} e da rugosidade relativa \varepsilon/D. Para tubos de ferro fundido usamos um valor típico de rugosidade absoluta \varepsilon\approx 0{,}26\\ \mathrm{mm}=2{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (valor comercial típico). Para obter f usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain (apróx. da Colebrook):
f = 0{,}25\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{-2}.
Este passo exige iteração: f depende de \mathrm{Re} que depende de V que depende de f. Vamos iterar de forma simples até convergir.

Passo 5

Calcular a área da seção e preparar os valores numéricos constantes:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}10)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}0025 \approx 0{,}00785398\\ \mathrm{m}^2.
Constantes:
g=9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2,\qquad h_f=1{,}0\\ \mathrm{m},\qquad \varepsilon=2{,}6\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Iteração inicial (procedimento):
  1. Escolho um palpite inicial para f, por exemplo f_0=0{,}02.
  2. Calculo V pela fórmula V=\sqrt{\dfrac{2g h_f}{f(L/D)}} com L/D=1000/0{,}1=10{,}000.
  3. Calculo \mathrm{Re}=VD/\nu.
  4. Atualizo f usando Swamee–Jain.
  5. Repito até f e V convergirem.
Vamos aos números.

Passo 7

Primeira iteração (resumo dos cálculos):
  • Com f_0=0{,}02,
V_1=\sqrt{\frac{2\cdot 9{,}81\cdot 1}{0{,}02\cdot 10{,}000}}=\sqrt{\frac{19{,}62}{200}}=\sqrt{0{,}0981}=0{,}3133\\ \mathrm{m/s}.
  • Reynolds:
\mathrm{Re}_1=\frac{V_1 D}{\nu}=\frac{0{,}3133\cdot 0{,}10}{0{,}7\times10^{-6}}=\frac{0{,}03133}{7\times10^{-7}}\approx 44\,757.
  • Swamee–Jain:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{2{,}6\times10^{-4}}{3{,}7\cdot 0{,}10}\approx 7{,}027\times 10^{-4},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}_1^{0{,}9}}\approx \frac{5{,}74}{(44\,757)^{0{,}9}}\approx 3{,}74\times 10^{-4}.
Soma interna \approx 1{,}076\times10^{-3}. Logo
f_1=0{,}25\left[\log_{10}(1{,}076\times10^{-3})\right]^{-2}\approx 0{,}02836.

Passo 8

Segunda iteração:
  • Com f_1=0{,}02836,
V_2=\sqrt{\frac{19{,}62}{0{,}02836\cdot 10{,}000}}=\sqrt{0{,}0692}=0{,}2632\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}_2=\dfrac{0{,}2632\cdot 0{,}10}{0{,}7\times10^{-6}}\approx 37\,600.
  • Atualizando f por Swamee–Jain obtemos f_2\approx 0{,}02885.

Passo 9

Terceira iteração:
  • Com f_2=0{,}02885,
V_3=\sqrt{\frac{19{,}62}{0{,}02885\cdot 10{,}000}}=\sqrt{0{,}06799}=0{,}2608\\ \mathrm{m/s}.
  • \mathrm{Re}_3\approx 37\,252. Atualizando f f_3\approx 0{,}02891.
Convergência: f e V mudam muito pouco entre iterações; podemos aceitar f\approx 0{,}0289 e V\approx 0{,}2605\\ \mathrm{m/s}.

Passo 10

Calcular a vazão final:
Q = A V \approx 0{,}00785398\\ \mathrm{m}^2 \times 0{,}2605\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}002046\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Arredondando para três algarismos significativos: Q\approx 0{,}00205\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Verificação final (ordem de grandeza): \mathrm{Re}\approx 37\,200 (escoamento turbulento), o valor de f calculado é consistente com rugosidade típica de ferro fundido e com a fórmula de Colebrook/Swamee–Jain usada.

Resposta

0{,}00205\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

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