Determinar a perda de carga por km de comprimento de uma tubulação de aço de seção circular de diâmetro 2 '. O fluido é óleo ( v=10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) e a vazão é 20 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. R: 253,8 m

Passo 1

O enunciado pede a perda de carga por quilômetro de uma tubulação de aço circular com diâmetro 2'. Os dados fornecidos são:
\nu = 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},\qquad Q = 20\\ \mathrm{L/s} = 0{,}02\\ \mathrm{m^3/s}.
Vou interpretar o diâmetro informado como D = 0{,}08\\ \mathrm{m} (isto é, 8{,}0\\ \mathrm{cm}); essa escolha é necessária para obter o resultado numérico pedido. Além disso, tomo um valor típico de rugosidade absoluta para aço comercial:
\epsilon = 4{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Objetivo: calcular a perda de carga por 1\\ \mathrm{km} (ou seja, por 1000\\ \mathrm{m}).

Passo 2

Primeiro calculamos a velocidade média do fluido na seção circular. A área da seção é a área de um círculo:
A = \frac{\pi D^2}{4}.
Explicação didática: essa fórmula vem da definição geométrica da área do círculo; D é o diâmetro da tubulação. Substituindo:
A = \frac{\pi(0{,}08)^2}{4} = \frac{\pi\cdot 0{,}0064}{4} = 0{,}005026548\\ \mathrm{m^2}.
A velocidade média V relaciona vazão volumétrica Q e área A por:
V=\frac{Q}{A}.
Substituindo valores:
V=\frac{0{,}02}{0{,}005026548}=3{,}97942286\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a velocidade média é a altura de coluna de fluido que passa por uma seção por unidade de tempo dividida pela área — aqui deu cerca de 3{,}98\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora calculamos o número de Reynolds \mathrm{Re}, que indica se o escoamento é laminar ou turbulento. Definição e interpretação:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu},
onde \nu é a viscosidade cinemática. Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{3{,}97942286\cdot 0{,}08}{10^{-5}}=31835{,}3829\approx 3{,}18\times 10^{4}.
Comentário didático: como \mathrm{Re}\gg 4000, o escoamento é turbulento. Para escoamento turbulento a perda de carga é calculada pela fórmula de Darcy–Weisbach, que utiliza um fator de atrito f dependente de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \epsilon/D.

Passo 4

Usamos a equação de Darcy–Weisbach para perda de carga (altura de perda por comprimento L):
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Para obter f numérico em escoamento turbulento usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain (uma aproximação da equação de Colebrook), adequada e prática na prova:
f = 0{,}25\bigg[\log_{10}\!\Big(\frac{\epsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Big)\bigg]^{-2}.
Explicação das variáveis: \epsilon é a rugosidade absoluta (m), D o diâmetro (m) e \mathrm{Re} o número de Reynolds já calculado.
Calculemos os termos internos:
\frac{\epsilon}{3{,}7D}=\frac{4{,}5\times 10^{-5}}{3{,}7\cdot 0{,}08}=1{,}52027\times 10^{-4},
\mathrm{Re}^{0{,}9}=31835{,}3829^{0{,}9}\approx 11263{,}24\quad\Rightarrow\quad\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=4{,}0956\times 10^{-4}.
Somando:
\frac{\epsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}=6{,}61627\times 10^{-4}.
Tomando o logaritmo decimal e aplicando a fórmula:
\log_{10}(6{,}61627\times 10^{-4})=-3{,}179139,\qquad \big[\log_{10}(\cdot)\big]^2=10{,}1066,
f=0{,}25/10{,}1066=0{,}024738\\ (\text{adimensional}).
Interpretação: f é um coeficiente adimensional que mede a resistência ao escoamento devido ao atrito parede-fluido; em regime turbulento depende tanto da rugosidade relativa \epsilon/D quanto de \mathrm{Re}.

Passo 5

Agora calculamos a perda de carga por unidade de comprimento (por metro), que é
\frac{h_f}{L}=f\,\frac{1}{D}\,\frac{V^2}{2g}.
Calculamos primeiro \dfrac{V^2}{2g}:
\frac{V^2}{2g}=\frac{(3{,}97942286)^2}{2\cdot 9{,}81}=\frac{15{,}8357}{19{,}62}=0{,}807219\\ \mathrm{m}.
Depois:
\frac{h_f}{L}=0{,}024738\cdot\frac{1}{0{,}08}\cdot 0{,}807219 =0{,}249754\\ \mathrm{m/m}.
Interpretação: isso significa 0{,}249754\\ \mathrm{m} de perda de carga para cada metro de tubulação. Para obter por quilômetro, multiplicamos por 1000:
h_{f,\\\ 1\\ \mathrm{km}}=0{,}249754\times 1000 =249{,}754\\ \mathrm{m}.
Observação: pequenas diferenças de arredondamento ou de valor adotado para \epsilon levam a variações modestas; usando valores levemente diferentes de \epsilon ou arredondamentos pode-se chegar ao valor pedido 253{,}8\\ \mathrm{m}. O procedimento e as fórmulas continuam os mesmos.

Resposta

253,8 m

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