Questão 4. ( \mathbf{1 , 5} ponto). Mostre que se F for uma primitiva de f, G for uma primitiva de g, e C e D forem duas constantes quaisquer, então, C F+D G é uma primitiva de C f+D g. (DICA: DERIVE C F+D G.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • F é uma primitiva de f. Ou seja, para todo x do domínio considerado vale F'(x)=f(x).
  • G é uma primitiva de g. Ou seja, G'(x)=g(x).
  • C e D são constantes quaisquer (números reais).
    O que se pede: mostrar que C F + D G é uma primitiva de C f + D g. Em termos práticos, isto significa provar que a derivada de C F + D G é igual a C f + D g.

Passo 2

Lembrando a definição básica de derivada em termos de limite: para uma função H,
H'(x)=\lim_{h\to0}\frac{H(x+h)-H(x)}{h}.
Também é importante a propriedade de linearidade dos limites: se \lim_{h\to0}A(h) e \lim_{h\to0}B(h) existem, então
\lim_{h\to0}\big(A(h)+B(h)\big)=\lim_{h\to0}A(h)+\lim_{h\to0}B(h),
e se k é constante,
\lim_{h\to0}k\cdot A(h)=k\cdot\lim_{h\to0}A(h).
Vamos usar essas propriedades para provar as regras de derivada necessárias.

Passo 3

Provar que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada dessa função. Seja k uma constante e F diferenciável. Então, por definição,
(kF)'(x)=\lim_{h\to0}\frac{kF(x+h)-kF(x)}{h}.
Fatorando k fora do numerador e usando a linearidade do limite,
(kF)'(x)=\lim_{h\to0} k\cdot\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = k\cdot\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = k F'(x).
Ou seja, a regra (kF)'=kF' está demonstrada.

Passo 4

Provar que a derivada da soma é a soma das derivadas. Para funções diferenciáveis F e G,
(F+G)'(x)=\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)+G(x+h)-F(x)-G(x)}{h}.
Reescrevendo o quociente como soma de dois quocientes e aplicando a linearidade do limite,
(F+G)'(x)=\lim_{h\to0}\left(\frac{F(x+h)-F(x)}{h}+\frac{G(x+h)-G(x)}{h}\right) =F'(x)+G'(x).
Logo, (F+G)'=F'+G'.

Passo 5

Aplicar as regras anteriores à função H(x)=C F(x)+D G(x). Usando a regra da soma e a regra da constante multiplicativa:
(CF+DG)'(x)= (CF)'(x)+(DG)'(x) = C F'(x) + D G'(x).
Pelo que foi dado no enunciado, F'(x)=f(x) e G'(x)=g(x). Substituindo,
(CF+DG)'(x)=C f(x) + D g(x).
Portanto, a derivada de C F + D G é exatamente C f + D g.

Resposta

C F + D G é uma primitiva de C f + D g.

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