Questão 4. (
ponto). Mostre que se
for uma primitiva de
for uma primitiva de
, e
e
forem duas constantes quaisquer, então,
é uma primitiva de
. (DICA: DERIVE
.)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é uma primitiva de . Ou seja, para todo do domínio considerado vale . -
é uma primitiva de . Ou seja, . -
e são constantes quaisquer (números reais).
O que se pede: mostrar queé uma primitiva de . Em termos práticos, isto significa provar que a derivada de é igual a .
Passo 2
Lembrando a definição básica de derivada em termos de limite: para uma função
,
Também é importante a propriedade de linearidade dos limites: se
e
existem, então
e se
é constante,
Vamos usar essas propriedades para provar as regras de derivada necessárias.
Passo 3
Provar que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada dessa função. Seja
uma constante e
diferenciável. Então, por definição,
Fatorando
fora do numerador e usando a linearidade do limite,
Ou seja, a regra
está demonstrada.
Passo 4
Provar que a derivada da soma é a soma das derivadas. Para funções diferenciáveis
e
,
Reescrevendo o quociente como soma de dois quocientes e aplicando a linearidade do limite,
Logo,
.
Passo 5
Aplicar as regras anteriores à função
. Usando a regra da soma e a regra da constante multiplicativa:
Pelo que foi dado no enunciado,
e
. Substituindo,
Portanto, a derivada de
é exatamente
.