Questão 3. (
pontos). Considere as funções
e
. Determine a área entre os gráficos das funções no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá as duas funções e pede a área entre os seus gráficos no intervalo
. Informações dadas:
-
. -
.
O que se pede: - Calcular a área da região limitada pelos gráficos de
e entre e .
Passo 2
Encontrar pontos de interseção (para saber onde as curvas se encontram). Igualamos
e
:
Reescrevendo:
Dividindo por
:
Essa quadrática fatoriza:
Logo as raízes são
e
. Observação: desses pontos, apenas
pertence ao intervalo pedido
. O outro ponto de interseção (
) está fora do intervalo.
Passo 3
Determinar qual função está acima da outra em
, pois a área entre curvas é dada pela integral da função superior menos a inferior.
Calcule a diferença
:
Testando um ponto interno, por exemplo
:
logo
. Como
tem raiz em
e é positiva em
, concluímos que em todo o intervalo
a função
está acima ou igual a
. Portanto não é necessário dividir o intervalo: para todo
vale
.
(Sentido prático: a área pedida é
.)
Passo 4
Escrever a integral que dá a área e simplificar o integrando:
Comentário rápido sobre por que isso funciona: a integral definida
representa a área algébrica sob a curva
. Se
e
está acima de
, então essa integral dá exatamente a área entre as duas curvas no intervalo.
Passo 5
Calcular a antiderivada termo a termo (relembrando as regras básicas):
- A antiderivada de
é (para ). - A antiderivada de uma constante
é .
Aplicando termo a termo em
:
Chamando essa primitiva de
, temos
Passo 6
Avaliar a primitiva nos limites e subtrair (Teorema Fundamental do Cálculo):
Calcule
:
Calcule
:
Portanto
Passo 7
Pequena checagem de coerência: a área obtida é positiva (bom sinal) e o valor
faz sentido para uma região limitada verticalmente em
e com diferença típica entre as funções de algumas unidades. Tudo consistente.