Questão 3. ( \mathbf{2 , 5} pontos). Considere as funções f(x)=x^{2}-2 x e g(x)=-x^{2}+4. Determine a área entre os gráficos das funções no intervalo [-1,1].

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e pede a área entre os seus gráficos no intervalo [-1,1]. Informações dadas:
  • f(x)=x^{2}-2x.
  • g(x)=-x^{2}+4.
    O que se pede:
  • Calcular a área da região limitada pelos gráficos de f e g entre x=-1 e x=1.

Passo 2

Encontrar pontos de interseção (para saber onde as curvas se encontram). Igualamos f(x) e g(x):
x^{2}-2x = -x^{2}+4.
Reescrevendo:
2x^{2}-2x-4=0.
Dividindo por 2:
x^{2}-x-2=0.
Essa quadrática fatoriza:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Logo as raízes são x=2 e x=-1. Observação: desses pontos, apenas x=-1 pertence ao intervalo pedido [-1,1]. O outro ponto de interseção ( x=2) está fora do intervalo.

Passo 3

Determinar qual função está acima da outra em [-1,1], pois a área entre curvas é dada pela integral da função superior menos a inferior.
Calcule a diferença (g-f)(x):
(g-f)(x)=(-x^{2}+4)-(x^{2}-2x)=-2x^{2}+2x+4.
Testando um ponto interno, por exemplo x=0:
(g-f)(0)=4>0,
logo g(0)>f(0). Como g(x)-f(x) tem raiz em x=-1 e é positiva em x=0, concluímos que em todo o intervalo [-1,1] a função g está acima ou igual a f. Portanto não é necessário dividir o intervalo: para todo x\in[-1,1] vale g(x)\ge f(x).
(Sentido prático: a área pedida é \int_{-1}^{1} (g(x)-f(x))\,dx.)

Passo 4

Escrever a integral que dá a área e simplificar o integrando:
\text{Área}=\int_{-1}^{1}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}\bigl(-2x^{2}+2x+4\bigr)\,dx.Á
Comentário rápido sobre por que isso funciona: a integral definida \int_{a}^{b} h(x)\,dx representa a área algébrica sob a curva y=h(x). Se h(x)=g(x)-f(x) e g está acima de f, então essa integral dá exatamente a área entre as duas curvas no intervalo.

Passo 5

Calcular a antiderivada termo a termo (relembrando as regras básicas):
  • A antiderivada de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq-1).
  • A antiderivada de uma constante c é cx.
Aplicando termo a termo em -2x^{2}+2x+4:
\int\bigl(-2x^{2}+2x+4\bigr)\,dx =-2\cdot\frac{x^{3}}{3}+2\cdot\frac{x^{2}}{2}+4x =-\frac{2}{3}x^{3}+x^{2}+4x.
Chamando essa primitiva de F(x), temos
F(x)=-\frac{2}{3}x^{3}+x^{2}+4x.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites e subtrair (Teorema Fundamental do Cálculo):
\text{Área}=F(1)-F(-1).Á
Calcule F(1):
F(1)=-\frac{2}{3}\cdot 1^{3}+1^{2}+4\cdot1=-\frac{2}{3}+1+4=-\frac{2}{3}+5=\frac{13}{3}.
Calcule F(-1):
F(-1)=-\frac{2}{3}\cdot(-1)^{3}+(-1)^{2}+4(-1)= -\frac{2}{3}\cdot(-1)+1-4=\frac{2}{3}-3=-\frac{7}{3}.
Portanto
\text{Área}=\frac{13}{3}-\bigl(-\frac{7}{3}\bigr)=\frac{20}{3}.Á

Passo 7

Pequena checagem de coerência: a área obtida é positiva (bom sinal) e o valor \dfrac{20}{3}\approx 6{,}666\ldots faz sentido para uma região limitada verticalmente em [-1,1] e com diferença típica entre as funções de algumas unidades. Tudo consistente.

Resposta

\dfrac{20}{3}

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