Questão 5. ( \mathbf{2 , 0} pontos). Considere a função f(x)=\ln \left(\sqrt{x^{2}+1} \cdot e^{\sin (3 x)}\right).
(a) Determine a expressão geral da derivada f^{\prime}(x).
(b) Calcule f^{\prime}(0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+1}\cdot e^{\sin(3x)}\right).
Informações e o que é pedido:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R}, porque \sqrt{x^{2}+1}>0 e e^{\sin(3x)}>0, logo o argumento do logaritmo é sempre positivo.
  • Pergunta (a): determinar a expressão geral de f^{\prime}(x).
  • Pergunta (b): calcular f^{\prime}(0).

Passo 2

Primeira ideia prática: usar a propriedade do logaritmo que transforma produto em soma. Para qualquer a>0 e b>0 vale \ln(ab)=\ln a+\ln b. Aplicando isso à função,
f(x)=\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)+\ln\!\left(e^{\sin(3x)}\right).
Explico por que isso facilita: derivar uma soma é mais simples do que derivar o logaritmo de um produto diretamente — dá para tratar cada parcela separadamente.

Passo 3

Simplificar cada parcela:
  • Para a primeira parcela, \sqrt{x^{2}+1}=(x^{2}+1)^{1/2}, então
\ln\!\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)=\ln\!\left((x^{2}+1)^{1/2}\right)=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1).
  • Para a segunda parcela, \ln\!\left(e^{\sin(3x)}\right)=\sin(3x), porque \ln(e^{u})=u para todo u.
Portanto a função fica
f(x)=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+\sin(3x).

Passo 4

Relembrando a regra de derivação que vamos usar (aulas rápidas e úteis):
  • Regra do quociente para log composto (cadeia): se g(x)=\ln(u(x)) então g'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Aqui u(x) deve ser positiva, o que já é verdade no nosso caso.
  • Regra da cadeia para função composta: se h(x)=\sin(v(x)) então h'(x)=\cos(v(x))\cdot v'(x).
Vamos aplicar isso termo a termo.

Passo 5

Derivada do primeiro termo \tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1):
  • Tome u(x)=x^{2}+1. Então u'(x)=2x.
  • Pela regra do log composto,
\frac{d}{dx}\ln(x^{2}+1)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^{2}+1}.
  • Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava na frente,
\frac{d}{dx}\left(\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1)\right)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=\frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 6

Derivada do segundo termo \sin(3x):
  • Tome v(x)=3x. Então v'(x)=3.
  • Pela regra da cadeia para seno,
\frac{d}{dx}\sin(3x)=\cos(3x)\cdot 3=3\cos(3x).

Passo 7

Somando as derivadas dos dois termos (pois a derivada da soma é a soma das derivadas), obtemos a derivada geral:
f^{\prime}(x)=\frac{x}{x^{2}+1}+3\cos(3x).
Nesse ponto já temos a expressão geral pedida no item (a).

Passo 8

Agora calculamos f^{\prime}(0). Substituindo x=0 em \displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{x}{x^{2}+1}+3\cos(3x):
  • A primeira parcela dá \dfrac{0}{0^{2}+1}=0.
  • A segunda parcela dá 3\cos(3\cdot 0)=3\cos(0)=3\cdot 1=3.
Portanto
f^{\prime}(0)=3.

Resposta

f^{\prime}(x)=\frac{x}{x^{2}+1}+3\cos(3x)
f^{\prime}(0)=3

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