Questão 5. (
pontos). Considere a função
.
(a) Determine a expressão geral da derivada
.
(b) Calcule
.
(a) Determine a expressão geral da derivada
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
Informações e o que é pedido:
- A função está definida para todo
, porque e , logo o argumento do logaritmo é sempre positivo. - Pergunta (a): determinar a expressão geral de
. - Pergunta (b): calcular
.
Passo 2
Primeira ideia prática: usar a propriedade do logaritmo que transforma produto em soma. Para qualquer
e
vale
. Aplicando isso à função,
Explico por que isso facilita: derivar uma soma é mais simples do que derivar o logaritmo de um produto diretamente — dá para tratar cada parcela separadamente.
Passo 3
Simplificar cada parcela:
- Para a primeira parcela,
, então
- Para a segunda parcela,
, porque para todo .
Portanto a função fica
Passo 4
Relembrando a regra de derivação que vamos usar (aulas rápidas e úteis):
- Regra do quociente para log composto (cadeia): se
então . Aqui deve ser positiva, o que já é verdade no nosso caso. - Regra da cadeia para função composta: se
então .
Vamos aplicar isso termo a termo.
Passo 5
Derivada do primeiro termo
:
- Tome
. Então . - Pela regra do log composto,
- Multiplicando pelo fator
que estava na frente,
Passo 6
Derivada do segundo termo
:
- Tome
. Então . - Pela regra da cadeia para seno,
Passo 7
Somando as derivadas dos dois termos (pois a derivada da soma é a soma das derivadas), obtemos a derivada geral:
Nesse ponto já temos a expressão geral pedida no item (a).
Passo 8
Agora calculamos
. Substituindo
em
:
- A primeira parcela dá
. - A segunda parcela dá
.
Portanto