Questão 1 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Uma partícula desloca-se ao longo do eixo x, partindo de x=0 \mathrm{~m} em t=0 \mathrm{~s}. Sua equação horária é
x(t)=5 t-7 t^{3} \quad(t \geq 0)
com x em m e t em s. O instante em que a partícula atinge sua posição máxima é
(a) t=\sqrt{\frac{6}{7}} \mathrm{~s}
(b) t=\sqrt{\frac{15}{7}} \mathrm{~s}
(c) t=\sqrt{\frac{21}{2}} \mathrm{~s}
(d) t=\sqrt{\frac{21}{5}} \mathrm{~s}
(e) t=\sqrt{\frac{5}{21}} \mathrm{~s}
(f) t=\sqrt{\frac{2}{21}} \mathrm{~s}
(g) t=\sqrt{\frac{7}{15}} \mathrm{~s}
(h) t=\sqrt{\frac{7}{6}} \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá a equação horária da posição da partícula para t\ge 0:
x(t)=5t-7t^{3}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
x(0)=0,\qquad x(t)=5t-7t^{3},\qquad t\ge 0.
Pergunta do enunciado: determinar o instante t em que a partícula atinge sua posição máxima (entre as opções dadas).

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): para uma função suave de posição x(t), o instante em que a posição é máxima geralmente ocorre quando a velocidade instantânea é zero e a concavidade da função indica máximo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo; simbolicamente:
v(t)=x'(t),
onde x'(t) significa "a derivada de x em relação a t". Regra usada: a derivada de t^{n} é n t^{n-1} (regra do poder).
Agora calculamos a velocidade derivando x(t). Derivando termo a termo:
\frac{d}{dt}(5t)=5,\qquad \frac{d}{dt}(-7t^{3})=-7\cdot 3 t^{2}=-21 t^{2}.
Portanto,
v(t)=x'(t)=5-21t^{2}.

Passo 3

Encontrar os instantes críticos: resolvemos v(t)=0 para t\ge 0:
5-21t^{2}=0.
Isolando t^{2}:
21t^{2}=5\quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{5}{21}.
Como o domínio é t\ge 0, tomamos a raiz positiva:
t=\sqrt{\frac{5}{21}}.

Passo 4

Verificação de que é máximo (segundo teste): calculamos a segunda derivada x''(t), que dá a taxa de variação da velocidade (ou concavidade de x):
x''(t)=\frac{d}{dt}(v(t))=\frac{d}{dt}(5-21t^{2})=-42t.
Avaliaremos x'' no ponto crítico t=\sqrt{\frac{5}{21}}. Como \sqrt{\frac{5}{21}}>0, temos
x''\!\left(\sqrt{\tfrac{5}{21}}\right)=-42\sqrt{\tfrac{5}{21}}<0.
Regra do teste da segunda derivada: se x''(t)<0 em um ponto crítico, então esse ponto é um máximo local. Aqui é estritamente negativo, logo t=\sqrt{\frac{5}{21}} é um instante de máximo da posição.

Passo 5

Breve exemplo extra para fixar (didática): se tivéssemos y(t)=t^{2}, então y'(t)=2t e y''(t)=2>0. O ponto crítico t=0 satisfaz y'(0)=0 e y''(0)>0, portanto é um mínimo. Isso ilustra por que o sinal de x'' decide entre máximo e mínimo.

Passo 6

Conclusão final: o instante em que a partícula atinge a posição máxima, considerando t\ge 0, é
t=\sqrt{\frac{5}{21}}\\ \text{s},
que corresponde à alternativa (e).

Resposta

\displaystyle t=\sqrt{\frac{5}{21}}\\ \text{s}

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