Questão 1 (
ponto): Uma partícula desloca-se ao longo do eixo
, partindo de
em
. Sua equação horária é
com
em m e
em s. O instante em que a partícula atinge sua posição máxima é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
O enunciado dá a equação horária da posição da partícula para
:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Pergunta do enunciado: determinar o instante
em que a partícula atinge sua posição máxima (entre as opções dadas).
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): para uma função suave de posição
, o instante em que a posição é máxima geralmente ocorre quando a velocidade instantânea é zero e a concavidade da função indica máximo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo; simbolicamente:
onde
significa "a derivada de
em relação a
". Regra usada: a derivada de
é
(regra do poder).
Agora calculamos a velocidade derivando
. Derivando termo a termo:
Portanto,
Passo 3
Encontrar os instantes críticos: resolvemos
para
:
Isolando
:
Como o domínio é
, tomamos a raiz positiva:
Passo 4
Verificação de que é máximo (segundo teste): calculamos a segunda derivada
, que dá a taxa de variação da velocidade (ou concavidade de
):
Avaliaremos
no ponto crítico
. Como
, temos
Regra do teste da segunda derivada: se
em um ponto crítico, então esse ponto é um máximo local. Aqui é estritamente negativo, logo
é um instante de máximo da posição.
Passo 5
Breve exemplo extra para fixar (didática): se tivéssemos
, então
e
. O ponto crítico
satisfaz
e
, portanto é um mínimo. Isso ilustra por que o sinal de
decide entre máximo e mínimo.
Passo 6
Conclusão final: o instante em que a partícula atinge a posição máxima, considerando
, é
que corresponde à alternativa (e).