Questão 1 (
ponto): Uma partícula desloca-se ao longo do eixo
, partindo de
em
. Sua equação horária é
com
em m e
em s. O instante em que a partícula atinge sua posição máxima é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
O enunciado dá a equação horária da posição da partícula
com
em metros e
em segundos. Pergunta: em que instante
a partícula atinge sua posição máxima? São oferecidas alternativas (a) a (h) com valores do tipo
. Informação relevante: o domínio do tempo é
(isto é,
). Não há mais dados a considerar.
Passo 2
Para encontrar onde
atinge máximo (ou mínimo) procuramos os pontos críticos, isto é, os tempos em que a derivada de
em relação a
é zero ou não está definida. A derivada da posição em relação ao tempo é a velocidade instantânea. Vou calcular a derivada usando a regra de potência: a derivada de
é
. Aplicando isso a cada termo:
Derivando termo a termo:
Logo, a velocidade é
Passo 3
Determino os pontos críticos impondo
:
Isolando
:
Tomando raiz quadrada, obtemos duas raízes:
Como o domínio é
, descartamos a raiz negativa e ficamos com
Passo 4
Agora precisamos verificar se esse ponto crítico é máximo ou mínimo. Para isso uso a segunda derivada de
, que é a derivada da velocidade — ou seja, a aceleração:
Aplicando a segunda derivada no ponto crítico
:
Esse valor é negativo porque
e o fator
é negativo. Pelo teste da segunda derivada, se
no ponto crítico então
tem um máximo local ali.
Passo 5
Como o polinômio cúbico dado tem termo dominante
negativo, quando
temos
. Assim o máximo local que encontramos é também o máximo global no domínio
, exceto que há que comparar com o extremo
. Calculo
e
no ponto crítico para confirmar:
Para
calculo
. Observando que
e
, temos
Simplificando
, segue
Como
e para
a posição vai para
, concluímos que
é o instante em que a partícula atinge sua posição máxima no domínio
.
Passo 6
Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que corresponde a
é a alternativa (f). Parabéns — apesar do desespero, deu certo: encontramos a raiz da velocidade, confirmamos com a segunda derivada e verificamos os valores para garantir que é máximo global no intervalo pedido.
Resposta
(f)