Questão 1 ( \mathbf{1 , 0} ponto): Uma partícula desloca-se ao longo do eixo x, partindo de x=0 \mathrm{~m} em t=0 \mathrm{~s}. Sua equação horária é
x(t)=2 t-7 t^{3} \quad(t \geq 0)
com x em m e t em s. O instante em que a partícula atinge sua posição máxima é
(a) t=\sqrt{\frac{6}{7}} \mathrm{~s}
(b) t=\sqrt{\frac{15}{7}} \mathrm{~s}
(c) t=\sqrt{\frac{21}{2}} \mathrm{~s}
(d) t=\sqrt{\frac{21}{5}} \mathrm{~s}
(e) t=\sqrt{\frac{5}{21}} \mathrm{~s}
(f) t=\sqrt{\frac{2}{21}} \mathrm{~s}
(g) t=\sqrt{\frac{7}{15}} \mathrm{~s}
(h) t=\sqrt{\frac{7}{6}} \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado dá a equação horária da posição da partícula
x(t)=2t-7t^{3}\quad (t\geq 0),
com x em metros e t em segundos. Pergunta: em que instante t a partícula atinge sua posição máxima? São oferecidas alternativas (a) a (h) com valores do tipo \sqrt{\cdot}. Informação relevante: o domínio do tempo é [0,\infty) (isto é, t\ge 0). Não há mais dados a considerar.

Passo 2

Para encontrar onde x(t) atinge máximo (ou mínimo) procuramos os pontos críticos, isto é, os tempos em que a derivada de x em relação a t é zero ou não está definida. A derivada da posição em relação ao tempo é a velocidade instantânea. Vou calcular a derivada usando a regra de potência: a derivada de a t^{n} é a n t^{n-1}. Aplicando isso a cada termo:
\frac{dx}{dt}=v(t)=\frac{d}{dt}\big(2t\big)-\frac{d}{dt}\big(7t^{3}\big).
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dt}\big(2t\big)=2\quad\text{e}\quad\frac{d}{dt}\big(7t^{3}\big)=7\cdot 3t^{2}=21t^{2}.
Logo, a velocidade é
v(t)=2-21t^{2}.

Passo 3

Determino os pontos críticos impondo v(t)=0:
2-21t^{2}=0.
Isolando t^{2}:
21t^{2}=2\quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{2}{21}.
Tomando raiz quadrada, obtemos duas raízes:
t=\pm\sqrt{\frac{2}{21}}.
Como o domínio é t\ge 0, descartamos a raiz negativa e ficamos com
t=\sqrt{\frac{2}{21}}.

Passo 4

Agora precisamos verificar se esse ponto crítico é máximo ou mínimo. Para isso uso a segunda derivada de x(t), que é a derivada da velocidade — ou seja, a aceleração:
a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\big(2-21t^{2}\big)=-42t.
Aplicando a segunda derivada no ponto crítico t=\sqrt{\tfrac{2}{21}}:
a\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{21}}\right)=-42\sqrt{\tfrac{2}{21}}.
Esse valor é negativo porque \sqrt{\tfrac{2}{21}}>0 e o fator -42 é negativo. Pelo teste da segunda derivada, se a(t)<0 no ponto crítico então x(t) tem um máximo local ali.

Passo 5

Como o polinômio cúbico dado tem termo dominante -7t^{3} negativo, quando t\to\infty temos x(t)\to -\infty. Assim o máximo local que encontramos é também o máximo global no domínio t\ge 0, exceto que há que comparar com o extremo t=0. Calculo x(0) e x no ponto crítico para confirmar:
x(0)=0.
Para t_{\text{crit}}=\sqrt{\tfrac{2}{21}} calculo x(t_{\text{crit}}). Observando que t_{\text{crit}}^{2}=\tfrac{2}{21} e t_{\text{crit}}^{3}=t_{\text{crit}}\cdot t_{\text{crit}}^{2}=t_{\text{crit}}\cdot \tfrac{2}{21}, temos
x(t_{\text{crit}})=2t_{\text{crit}}-7t_{\text{crit}}^{3} =2t_{\text{crit}}-7\left(t_{\text{crit}}\cdot\frac{2}{21}\right) =t_{\text{crit}}\left(2-\frac{14}{21}\right).
Simplificando \frac{14}{21}=\frac{2}{3}, segue
x(t_{\text{crit}})=t_{\text{crit}}\left(2-\frac{2}{3}\right)=t_{\text{crit}}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{21}}>0.
Como x(t_{\text{crit}})>0=x(0) e para t\to\infty a posição vai para -\infty, concluímos que t_{\text{crit}}=\sqrt{\tfrac{2}{21}} é o instante em que a partícula atinge sua posição máxima no domínio t\ge 0.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que corresponde a t=\sqrt{\tfrac{2}{21}} é a alternativa (f). Parabéns — apesar do desespero, deu certo: encontramos a raiz da velocidade, confirmamos com a segunda derivada e verificamos os valores para garantir que é máximo global no intervalo pedido.

Resposta

(f) t=\sqrt{\dfrac{2}{21}}\\ \mathrm{s}

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