SUPONHA QUE A PROBABILIDADE QUE A EMPRESA BMG DESVALORIZE EM RELAÇÃO AO DOLAR NUMA DETERMINADA SEMANA SEJA 0,3 E QUE O QUE ACONTEÇCE NUMA DETERMINADA SEMANA SEJA INDEPENDENTE DO QUE ACONTECE NUMA OUTRA SEMANA. NOTA 1 : 1 MÊS EQUIVALA A 4 SEMANAS
A) QUAL A PROBABILIDADE DE QUE A EMPRESA BMG SE DESVALORIZE PELOMENOS UMA SEMANA NUM PERIODO DE 2 MESES?
B) CALCULE OS PARÂMETROS DA DISTRIUBUIÇÃO

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
  • Informação: a probabilidade de a empresa BMG se desvalorizar em relação ao dólar numa determinada semana é 0,3.
  • Informação: o que acontece numa semana é independente do que acontece em outra semana.
  • Informação: 1 mês equivale a 4 semanas, logo 2 meses equivalem a 8 semanas.
  • Pergunta (A): qual a probabilidade de que a empresa BMG se desvalorize pelo menos uma semana no período de 2 meses?
  • Pergunta (B): calcule os parâmetros da distribuição (ou seja, defina a distribuição adequada e seus parâmetros; se for útil, calcule também esperança e variância).

Passo 2

Vamos modelar matematicamente o problema (explicação do modelo que usamos).
  • Intuição simples: cada semana é um “ensaio” com dois resultados possíveis: “desvalorizou” (sucesso) ou “não desvalorizou” (fracasso). A probabilidade de sucesso em cada semana é a mesma ( 0,3) e os ensaios são independentes. Esse é exatamente o cenário clássico de ensaios de Bernoulli repetidos.
  • Definição do que vamos contar: seja X a variável aleatória “número de semanas, em 8 semanas, em que a empresa desvalorizou”.
  • A distribuição que modela X quando temos n ensaios independentes de Bernoulli com probabilidade p de sucesso é a distribuição binomial. A notação é
X \sim \text{Binomial}(n,p).
  • A função de probabilidade (PMF) da binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k},
onde:
  • n é o número de ensaios (aqui semanas),
  • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui 0,3),
  • k é o número de sucessos (aqui número de semanas com desvalorização),
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial e vale \dfrac{n!}{k!(n-k)!}, que conta de quantas maneiras podemos escolher as k semanas de desvalorização entre as n semanas.

Passo 3

Identificação dos parâmetros concretos do problema.
  • Já encontramos o número de semanas do período de 2 meses: n=8.
  • A probabilidade semanal dada é p=0,3.
  • Portanto a variável X que conta o número de semanas com desvalorização segue
X \sim \text{Binomial}\bigl(n=8,\;p=0,3\bigr).
  • Fórmulas úteis (e o que significam):
    • Esperança (média) da binomial: \displaystyle \mathbb{E}(X)=n p. Aqui \mathbb{E}(X) é o valor médio esperado de X.
    • Variância da binomial: \displaystyle \mathrm{Var}(X)=n p (1-p). A variância mede a dispersão em torno da média.
  • Calculemos esperança e variância passo a passo:
    • \displaystyle \mathbb{E}(X)=8\cdot 0,3=2,4.
    • \displaystyle \mathrm{Var}(X)=8\cdot 0,3\cdot(1-0,3)=8\cdot 0,3\cdot 0,7.
    • Calcule 8\cdot 0,3=2,4 e então 2,4\cdot 0,7=1,68. Logo \mathrm{Var}(X)=1,68.

Passo 4

Cálculo da probabilidade pedida em (A): “pelo menos uma semana”.
  • “Pelo menos uma semana” significa X\ge 1. Em vez de somar P(X=1)+P(X=2)+\dots+P(X=8) (que dá trabalho), usamos o truque do complementar: P(X\ge 1)=1-P(X=0).Isso é útil porque P(X=0) é simples de calcular.
  • Usando a fórmula da binomial para k=0: P(X=0)=\binom{8}{0} p^{0} (1-p)^{8}=(1-p)^{8}.Substituindo p=0,3 temos (1-p)=0,7, então P(X=0)=(0,7)^{8}.
  • Então P(X\ge 1)=1-(0,7)^{8}.
  • Vamos calcular (0,7)^{8} passo a passo (multiplicações sucessivas, sem pular contas):
    • (0,7)^{2}=0,49.
    • (0,7)^{4}=(0,49)^{2}=0,2401.
    • (0,7)^{8}=(0,2401)^{2}=0,05764801.
  • Finalmente: P(X\ge 1)=1-0,05764801=0,94235199\approx 0,9424.Então a probabilidade pedida é 1-(0,7)^{8}, que numericamente vale aproximadamente 0,94235199 (ou 0,9424 arredondando).

Passo 5

Resumo final e dica de prova.
  • Resumo: o número de semanas de desvalorização em 2 meses é binomial com n=8 e p=0,3. A probabilidade de pelo menos uma semana com desvalorização é 1-(0,7)^{8}\approx 0,9424.
  • Dica rápida para a prova: quando pedirem “pelo menos um” em várias tentativas independentes, pense sempre no complementar “nenhum” — normalmente é muito mais fácil de calcular.

Resposta

A) 1-(0,7)^{8}\approx 0,94235199
B) X\sim\text{Binomial}(n=8,p=0,3); \mathbb{E}(X)=2,4; \mathrm{Var}(X)=1,68

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