SUPONHA QUE A PROBABILIDADE QUE A EMPRESA BMG DESVALORIZE EM RELAÇÃO AO DOLAR NUMA DETERMINADA SEMANA SEJA 0,3 E QUE O QUE ACONTEÇCE NUMA DETERMINADA SEMANA SEJA INDEPENDENTE DO QUE ACONTECE NUMA OUTRA SEMANA. NOTA 1 : 1 MÊS EQUIVALA A 4 SEMANAS
A) QUAL A PROBABILIDADE DE QUE A EMPRESA BMG SE DESVALORIZE PELOMENOS UMA SEMANA NUM PERIODO DE 2 MESES?
B) CALCULE OS PARÂMETROS DA DISTRIUBUIÇÃO
A) QUAL A PROBABILIDADE DE QUE A EMPRESA BMG SE DESVALORIZE PELOMENOS UMA SEMANA NUM PERIODO DE 2 MESES?
B) CALCULE OS PARÂMETROS DA DISTRIUBUIÇÃO
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
- Informação: a probabilidade de a empresa BMG se desvalorizar em relação ao dólar numa determinada semana é
. - Informação: o que acontece numa semana é independente do que acontece em outra semana.
- Informação:
mês equivale a semanas, logo meses equivalem a semanas. - Pergunta (A): qual a probabilidade de que a empresa BMG se desvalorize pelo menos uma semana no período de
meses? - Pergunta (B): calcule os parâmetros da distribuição (ou seja, defina a distribuição adequada e seus parâmetros; se for útil, calcule também esperança e variância).
Passo 2
Vamos modelar matematicamente o problema (explicação do modelo que usamos).
- Intuição simples: cada semana é um “ensaio” com dois resultados possíveis: “desvalorizou” (sucesso) ou “não desvalorizou” (fracasso). A probabilidade de sucesso em cada semana é a mesma (
) e os ensaios são independentes. Esse é exatamente o cenário clássico de ensaios de Bernoulli repetidos. - Definição do que vamos contar: seja
a variável aleatória “número de semanas, em 8 semanas, em que a empresa desvalorizou”. - A distribuição que modela
quando temos ensaios independentes de Bernoulli com probabilidade de sucesso é a distribuição binomial. A notação é
- A função de probabilidade (PMF) da binomial é:
onde:
-
é o número de ensaios (aqui semanas), -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ), -
é o número de sucessos (aqui número de semanas com desvalorização), -
é o coeficiente binomial e vale , que conta de quantas maneiras podemos escolher as semanas de desvalorização entre as semanas.
Passo 3
Identificação dos parâmetros concretos do problema.
- Já encontramos o número de semanas do período de
meses: . - A probabilidade semanal dada é
. - Portanto a variável
que conta o número de semanas com desvalorização segue
- Fórmulas úteis (e o que significam):
- Esperança (média) da binomial:
. Aqui é o valor médio esperado de . - Variância da binomial:
. A variância mede a dispersão em torno da média.
- Esperança (média) da binomial:
- Calculemos esperança e variância passo a passo:
-
-
- Calcule
e então . Logo .
-
Passo 4
Cálculo da probabilidade pedida em (A): “pelo menos uma semana”.
- “Pelo menos uma semana” significa
. Em vez de somar (que dá trabalho), usamos o truque do complementar: Isso é útil porque é simples de calcular. - Usando a fórmula da binomial para
: Substituindo temos , então - Então
- Vamos calcular
passo a passo (multiplicações sucessivas, sem pular contas): -
. -
. -
.
-
- Finalmente:
Então a probabilidade pedida é , que numericamente vale aproximadamente (ou arredondando).
Passo 5
Resumo final e dica de prova.
- Resumo: o número de semanas de desvalorização em
meses é binomial com e . A probabilidade de pelo menos uma semana com desvalorização é . - Dica rápida para a prova: quando pedirem “pelo menos um” em várias tentativas independentes, pense sempre no complementar “nenhum” — normalmente é muito mais fácil de calcular.
Resposta
A)
B) ;
;
B)