Questão 1 (3,0 pontos)
Um bloco de porcelana (constante dielétrica
) de lado
com espessura
(
) é colocado entre as placas de um capacitor de placas paralelas quadradas de lado
. O bloco é colocado entre as placas.
1.1) Determine, em função de
(distância entre as placas) e
, a capacitância após a introdução do bloco de porcelana. Justifique a sua resposta;
1.2) Se
e uma diferença de potencial
entre placas é mantida constante, determine a razão entre as energias armazenadas antes e depois da introdução do bloco entre as placas. Obs.: Neste caso, o espaço entre as placas do capacitor está completamente preenchido. Justifique a sua resposta.
1.1) Determine, em função de
1.2) Se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
1.1) Calcular a capacitância depois de introduzir um bloco de porcelana (constante dielétrica ) de lado
e espessura
(com
) entre as placas de um capacitor de placas paralelas quadradas de lado
. Os parâmetros disponíveis são
,
,
e
.
1.2) No caso especial em que (ou seja, o dielétrico preenche totalmente o espaço entre as placas) e mantendo-se uma diferença de potencial constante
, determinar a razão entre as energias armazenadas antes e depois da introdução do bloco.
1.1) Calcular a capacitância depois de introduzir um bloco de porcelana (constante dielétrica
1.2) No caso especial em que
Informações dadas e hipóteses implícitas que usaremos:
- As placas são quadradas de lado
, portanto a área de cada placa é . - A separação entre as placas é
. - O bloco dielétrico tem espessura
e cobre toda a área das placas (ou seja, ocupa a seção transversal completa), portanto a configuração é composta por duas regiões planares em série ao longo da distância entre placas: uma região com dielétrico (espessura , permissividade ) e outra região de vácuo/ ar (espessura , permissividade ). - Desprezamos efeitos de borda (campo aproximadamente uniforme em cada região).
Passo 2
Conceitos fundamentais que vamos usar (explicação didática):
- A capacitância de um capacitor de placas paralelas de área
e separação preenchido por um meio com permissividade é
Aqui
é a capacitância (farads),
é a permissividade do meio (
no vácuo ou
com dielétrico),
é a área das placas e
é a distância entre as placas. Essa fórmula vem de
usando que o campo entre placas é
e
.
- Quando duas camadas diferentes ficam empilhadas entre as placas (como aqui: uma camada dielétrica de espessura
e depois uma camada de vácuo de espessura ), elas formam capacitores em série: a mesma carga aparece em cada “fatia” e a diferença de potencial total é a soma das diferenças de potencial em cada fatia. Para capacitores em série vale
onde
é a capacitância equivalente da associação em série.
Passo 3
Identificação dos dois “capacitores” em série no problema:
- Região 1: camada de porcelana (dielétrico) com permissividade
, espessura e área . Sua capacitância é, pela fórmula de placas paralelas,
- Região 2: camada de vácuo/ar com permissividade
, espessura e área . Sua capacitância é
Essas duas capacitâncias estão em série ao longo da direção entre as placas.
Passo 4
Agora aplicamos a regra de capacitores em série para obter a capacitância equivalente
:
Substituindo
e
:
Passo 5
Fatorando
na expressão anterior:
Invertendo para obter
:
Substituindo
(área das placas quadradas) obtemos a forma final para a questão 1.1:
Passo 6
Agora a parte 1.2 (caso
, ou seja, bloco ocupa totalmente o espaço). Primeiro identifico as capacitâncias antes e depois:
- Antes (sem dielétrico): capacitância inicial
- Depois (com dielétrico preenchendo completamente,
): pela fórmula de placas com dielétrico
Passo 7
Energia armazenada em um capacitor com diferença de potencial constante
:
- Fórmula que usaremos:
Aqui
é a energia (joules),
é a capacitância e
é a tensão entre as placas. Como
é mantido constante, a energia é proporcional a
.
Passo 8
Relação entre as energias antes (
) e depois (
):
- Antes:
- Depois:
Portanto a razão pedida (energia antes sobre energia depois) é
Como comentário útil: se preferir a razão inversa (depois sobre antes), ela é
, ou seja, a energia armazenada aumenta por um fator
quando se insere o dielétrico mantendo
fixo.