Questão 1 (3,0 pontos)

Um bloco de porcelana (constante dielétrica \kappa ) de lado l com espessura b ( \operatorname{com} b<l ) é colocado entre as placas de um capacitor de placas paralelas quadradas de lado l. O bloco é colocado entre as placas.
1.1) Determine, em função de \varepsilon_{0}, l, d (distância entre as placas) e b<d, a capacitância após a introdução do bloco de porcelana. Justifique a sua resposta;
1.2) Se b=d e uma diferença de potencial V entre placas é mantida constante, determine a razão entre as energias armazenadas antes e depois da introdução do bloco entre as placas. Obs.: Neste caso, o espaço entre as placas do capacitor está completamente preenchido. Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
1.1) Calcular a capacitância depois de introduzir um bloco de porcelana (constante dielétrica \kappa) de lado \,l e espessura \,b (com \,b<d) entre as placas de um capacitor de placas paralelas quadradas de lado \,l. Os parâmetros disponíveis são \varepsilon_{0}, \,l, \,d e \,b.
1.2) No caso especial em que \,b=d (ou seja, o dielétrico preenche totalmente o espaço entre as placas) e mantendo-se uma diferença de potencial constante \,V, determinar a razão entre as energias armazenadas antes e depois da introdução do bloco.
Informações dadas e hipóteses implícitas que usaremos:
  • As placas são quadradas de lado \,l, portanto a área de cada placa é \,A=l^{2}.
  • A separação entre as placas é \,d.
  • O bloco dielétrico tem espessura \,b<d e cobre toda a área \,A das placas (ou seja, ocupa a seção transversal completa), portanto a configuração é composta por duas regiões planares em série ao longo da distância entre placas: uma região com dielétrico (espessura \,b, permissividade \varepsilon_0\kappa) e outra região de vácuo/ ar (espessura \,d-b, permissividade \varepsilon_0).
  • Desprezamos efeitos de borda (campo aproximadamente uniforme em cada região).

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicação didática):
  • A capacitância de um capacitor de placas paralelas de área \,A e separação \,s preenchido por um meio com permissividade \,\varepsilon é
C=\frac{\varepsilon A}{s}.
Aqui \,C é a capacitância (farads), \varepsilon é a permissividade do meio ( \varepsilon_0 no vácuo ou \varepsilon_0\kappa com dielétrico), \,A é a área das placas e \,s é a distância entre as placas. Essa fórmula vem de C=Q/V usando que o campo entre placas é E=\sigma/\varepsilon e \,V=Es.
  • Quando duas camadas diferentes ficam empilhadas entre as placas (como aqui: uma camada dielétrica de espessura \,b e depois uma camada de vácuo de espessura \,d-b), elas formam capacitores em série: a mesma carga \,Q aparece em cada “fatia” e a diferença de potencial total é a soma das diferenças de potencial em cada fatia. Para capacitores em série vale
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\cdots
onde C_{\text{eq}} é a capacitância equivalente da associação em série.

Passo 3

Identificação dos dois “capacitores” em série no problema:
  • Região 1: camada de porcelana (dielétrico) com permissividade \varepsilon_0\kappa, espessura \,b e área \,A=l^{2}. Sua capacitância é, pela fórmula de placas paralelas,
C_{1}=\frac{\varepsilon_0\kappa\,A}{b}.
  • Região 2: camada de vácuo/ar com permissividade \varepsilon_0, espessura \,d-b e área \,A=l^{2}. Sua capacitância é
C_{2}=\frac{\varepsilon_0\,A}{d-b}.
Essas duas capacitâncias estão em série ao longo da direção entre as placas.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de capacitores em série para obter a capacitância equivalente \,C:
\frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}.
Substituindo C_{1} e C_{2}:
\frac{1}{C}=\frac{b}{\varepsilon_0\kappa A}+\frac{d-b}{\varepsilon_0 A}.

Passo 5

Fatorando \,1/(\varepsilon_0 A) na expressão anterior:
\frac{1}{C}=\frac{1}{\varepsilon_0 A}\Bigg(\frac{b}{\kappa}+d-b\Bigg).
Invertendo para obter \,C:
C=\frac{\varepsilon_0 A}{\,d-b+\dfrac{b}{\kappa}\,}.
Substituindo A=l^{2} (área das placas quadradas) obtemos a forma final para a questão 1.1:
C=\frac{\varepsilon_{0}\,l^{2}}{\,d-b+\dfrac{b}{\kappa}\,}.

Passo 6

Agora a parte 1.2 (caso \,b=d, ou seja, bloco ocupa totalmente o espaço). Primeiro identifico as capacitâncias antes e depois:
  • Antes (sem dielétrico): capacitância inicial
C_{0}=\frac{\varepsilon_0 A}{d}.
  • Depois (com dielétrico preenchendo completamente, \,b=d): pela fórmula de placas com dielétrico
C'=\frac{\varepsilon_0\kappa\,A}{d}=\kappa C_{0}.

Passo 7

Energia armazenada em um capacitor com diferença de potencial constante \,V:
  • Fórmula que usaremos:
U=\frac{1}{2}C V^{2}.
Aqui \,U é a energia (joules), \,C é a capacitância e \,V é a tensão entre as placas. Como \,V é mantido constante, a energia é proporcional a \,C.

Passo 8

Relação entre as energias antes ( U_{\text{antes}}) e depois ( U_{\text{depois}}):
  • Antes: U_{\text{antes}}=\dfrac{1}{2}C_{0}V^{2}.
  • Depois: U_{\text{depois}}=\dfrac{1}{2}C'V^{2}=\dfrac{1}{2}(\kappa C_{0})V^{2}=\kappa\left(\dfrac{1}{2}C_{0}V^{2}\right)=\kappa\,U_{\text{antes}}.
    Portanto a razão pedida (energia antes sobre energia depois) é
\frac{U_{\text{antes}}}{U_{\text{depois}}}=\frac{1}{\kappa}.
Como comentário útil: se preferir a razão inversa (depois sobre antes), ela é \kappa, ou seja, a energia armazenada aumenta por um fator \kappa quando se insere o dielétrico mantendo \,V fixo.

Resposta

C=\frac{\varepsilon_{0}\,l^{2}}{\,d-b+\dfrac{b}{\kappa}\,}
\frac{U_{\text{antes}}}{U_{\text{depois}}}=\frac{1}{\kappa}

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