Mostre que:
\operatorname{Re}(i z)=-\operatorname{Im}(z);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo número complexo z, vale
\operatorname{Re}(i\,z) = -\,\operatorname{Im}(z).
O conteúdo aqui é definição de parte real e imaginária de um complexo e multiplicação por i. Para resolver, vamos escrever z na forma x + i\,y e usar que i^2=-1.

Passo 2

Seja
z = x + i\,y,
onde x = \operatorname{Re}(z) e y = \operatorname{Im}(z).

Passo 3

Multiplicando z por i, temos
i\,z = i\,(x + i\,y) = i\,x + i^2\,y = i\,x - y = -\,y + i\,x.

Passo 4

Na expressão -\,y + i\,x, a parte real é -y. Como \operatorname{Im}(z)=y, segue que
\operatorname{Re}(i\,z) = -\,y = -\,\operatorname{Im}(z).

Resposta

\operatorname{Re}(i\,z) = -\operatorname{Im}(z)

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