Questão 1. ( 3,5 pontos) Um parafuso de potência de 40 mm de rosqueado único tem diâmetro de 40 mm , com um passo de 8 mm . Uma carga vertical nesse parafuso alcança um máximo de 15 kN. Os coeficientes de fricção são 0,05 para o colar e 0,08 para as roscas. O diâmetro friccional do colar é de 60 mm .
a) Encontre a profundidade e a largura de rosca, os diâmetros médio e de raiz e o avanço.
b) Encontre o torque requerido para elevar e baixar a carga.
c) Encontre a eficiência durante a elevação da carga.
d) Encontre as tensões de corpo, torcional e compressiva
e) Encontre as tensões de apoio.
f) Encontre as tensões de rosca flexionando na raiz, cisalhando na raiz, a tensão de Von Mises e a tensão de cisalhamento máximo no mesmo local.
a) Encontre a profundidade e a largura de rosca, os diâmetros médio e de raiz e o avanço.
b) Encontre o torque requerido para elevar e baixar a carga.
c) Encontre a eficiência durante a elevação da carga.
d) Encontre as tensões de corpo, torcional e compressiva
e) Encontre as tensões de apoio.
f) Encontre as tensões de rosca flexionando na raiz, cisalhando na raiz, a tensão de Von Mises e a tensão de cisalhamento máximo no mesmo local.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas para um parafuso de potência (rosca simples) cujos dados são:
As perguntas (a–f) são:
a) Encontre profundidade e largura da rosca, os diâmetros médio (pitch) e de raiz e o avanço.
b) Encontre o torque requerido para elevar e baixar a carga.
c) Encontre a eficiência durante a elevação da carga.
d) Encontre as tensões de corpo (axial), torcional e compressiva (no colar).
e) Encontre as tensões de apoio (pressões de contato na rosca e no colar).
f) Na raiz da rosca: tensão de flexão (bending), tensão de cisalhamento, tensão de Von Mises e tensão de cisalhamento máximo — todas no mesmo ponto (faço hipóteses claras no passo de resolução).
a) Encontre profundidade e largura da rosca, os diâmetros médio (pitch) e de raiz e o avanço.
b) Encontre o torque requerido para elevar e baixar a carga.
c) Encontre a eficiência durante a elevação da carga.
d) Encontre as tensões de corpo (axial), torcional e compressiva (no colar).
e) Encontre as tensões de apoio (pressões de contato na rosca e no colar).
f) Na raiz da rosca: tensão de flexão (bending), tensão de cisalhamento, tensão de Von Mises e tensão de cisalhamento máximo — todas no mesmo ponto (faço hipóteses claras no passo de resolução).
Não há figura a mais; vou usar as fórmulas padrão de rosca métrica ISO (perfil de
) e algumas hipóteses razoáveis quando o enunciado não especifica detalhes geométricos adicionais (eu explico cada hipótese ao usar).
Passo 2
Geometria da rosca — fórmulas básicas e explicação didática
Explicação rápida da geometria: para perfis de rosca triangular
(padrão métrico) usamos parâmetros padronizados: altura do triângulo teórico
, mas por causa da truncatura prática existem relações usuais para diâmetros de passo (médio) e de raiz. Fórmulas padrão (valores tabulados para roscas métricas) que eu vou usar e justificar:
- Diâmetro médio (diâmetro de passo) aproximado:
. Esse valor vem da definição do diâmetro de passo na rosca ISO. - Diâmetro de raiz (menor diâmetro do filete externo):
. - Profundidade radial efetiva da rosca (altura do filete radial):
. Isso é metade da diferença entre maior e menor diâmetro: . - Largura/espessura efetiva do filete (espessura axial da crista no diâmetro de passo): valor prático padronizado
. É a espessura do “dente” da rosca medida ao nível do diâmetro de passo. - Avanço (lead) para rosca simples:
.
Agora calculamos numericamente usando
.
Cálculos (mostro contas para você repetir facilmente na prova):
Observação: eu usei as constantes padronizadas (0,64952; 1,22687; 0,61343; 0,54127) que aparecem em tabelas de roscas métricas ISO e que tornam as contas diretas na prova.]
Passo 3
Torque para elevar e baixar — teoria, fórmulas e cálculo
- Conceitos necessários (passo a passo):
- A rosca atua como uma hélice: o ângulo de hélice
satisfaz . Esse ângulo caracteriza quanto avanço axial há por giro e aparece nas relações força ↔ torque. - Fricção nas roscas: para perfil triangular
a ação da fricção nas flancas aumenta o efeito do coeficiente . Uma aproximação prática e muito usada é usar um coeficiente de fricção “efetivo” dado por , onde é o ângulo do perfil (aqui , então ). Isso reflete que a força normal na flanca tem componente que amplia a resistência ao deslizamento. (É uma aproximação padrão em problemas de parafusos.) - Torque devido à rosca (modelo simplificado similar ao caso de filete quadrado, mas com
substituído por ): para subir a carga, a expressão prática é
- Torque devido ao colar (atrito radiado sob a cabeça/colar): assumimos que a reação normal no colar é igual a
(hipótese usual quando o colar suporta axialmente a carga) e o torque por atrito no colar é
- Torques somam-se: para elevar,
. Para baixar, a componente de hélice muda de sinal: uma expressão prática (quando o parafuso é auto travante ou quase) é
(se
obtém-se torque positivo a ser aplicado para controlar a descida).
- Cálculos numéricos passo a passo:
Calcule
:
Coeficiente de fricção efetivo nas flancas:
Raio médio:
Torque da rosca (subir):
Torque do colar:
Torque total para elevar:
Torque para baixar (controlar a descida):
Comentários práticos: se
o parafuso não é auto-travante e a descida exigiria torque de sinal contrário; aqui
(0,09238 > 0,07317), então há atrito suficiente para parte do bloqueio, e
é positivo (isto é, é preciso aplicar torque para controlar a descida).
Passo 4
Eficiência durante a elevação — instrução e cálculo
Definição prática: eficiência
= trabalho útil por volta / trabalho fornecido por volta =
.
Cálculo numérico:
Interpretação: só cerca de 29% da energia fornecida ao torque é convertida em trabalho axial — o resto é perdido por atrito (rosca + colar).
Passo 5
Tensões no corpo (haste), torcional e compressiva (colar) — teoria e contas
- Tensão axial (compressiva) no corpo (se considerarmos a seção nominal do corpo com diâmetro
):
Área da seção:
Tensão axial média:
- Tensão cisalhante devido ao torque (torsional shear) na haste (seção circular maciça):
Polar segundo momento de área (torsão):
raio
. A tensão de cisalhamento máxima (no contorno) é
- Tensão compressiva média sob o colar (pressão de apoio do colar) — interpreto o colar como um anel que apoia do diâmetro interno igual ao diâmetro do parafuso
até o diâmetro externo dado . Área do anel:
Tensão média (compressiva) no colar:
Observação: essa é uma aproximação média de apoio; pressões locais podem ser maiores dependendo do acabamento, mas é a forma de estimativa padrão quando só temos os diâmetros.
Passo 6
Tensões de apoio (pressões de contato) e tensões na raiz da rosca — teoria, hipóteses e cálculo
Parte (e) — Tensões de apoio (pressões):
-
Pressão média na superfície de contato do colar (já calculada no passo anterior):
-
Pressão média de apoio na rosca (pressão de contato ao longo do corpo do filete): uma estimativa prática é dividir a carga pela área projetada de contato axial entre a rosca externa e o contra-porca. Uma aproximação simples para a área projetada de contato da rosca é
(circunferência média vezes a “altura” radial do filete que suporta carga). Assim:
e a pressão média na rosca:
Comentário: essa é uma média projetada; picos locais no filete (na raiz) podem ser maiores.
Parte (f) — Tensões na raiz da rosca: hipóteses e raciocínio
Hipótese necessária (porque o enunciado não dá todas as dimensões de filete e nem distribuição exata da carga):
- Vou analisar a seção na raiz da rosca (menor diâmetro
) e computar tensões resultantes de: tensão axial média (compressiva), tensão de flexão estimada por uma hipótese razoável de excentricidade do carregamento na raiz e tensão de cisalhamento causada pelo torque total. Essa é uma abordagem típica em problemas de projeto quando se pede tensões combinadas na raiz. - Hipótese para a excentricidade que gera flexão: assumo que a força resultante nas flancas age com um pequeno braço de alavanca igual à metade da altura do filete,
. Essa é uma aproximação usada para estimar um momento fletor local na raiz devido à distribuição assimétrica da pressão sobre a seção do filete.
Cálculos passo a passo:
- Área à raiz:
Tensão axial média na raiz:
- Tensão de cisalhamento por torque na raiz (usar o polar momento correspondente ao diâmetro
):
Numericamente (valores calculados):
- Tensão de flexão aproximada na raiz (hipótese de excentricidade
):
Momento fletor estimado:
Momento de inércia da seção circular de diâmetro
:
braço
. Então a tensão de flexão (extrema) é
- Tensão normal total (na fibra mais solicitada) — soma de axial + flexão (mesmo sinal, para considerar o pior caso):
- Cálculo da tensão de Von Mises e da máxima tensão de cisalhamento nesse ponto (assumindo um estado de tensão com uma componente normal
e uma componente de cisalhamento ) — fórmulas padrão:
- Tensão de Von Mises (para combinação de tensão normal uniaxial e cisalhamento puro):
. - Tensão de cisalhamento máxima (criterial de máxima distorção / máxima diferença principal):
.
Numéricos:
Comentários finais sobre o passo: as estimativas de flexão na raiz dependem da hipótese de excentricidade; se houvesse informação mais precisa sobre como a carga é transmitida entre flancos, poderíamos refinar. Ainda assim, a sequência de cálculo — encontrar área à raiz, tensão axial média, tensão por torção usando
, e somar contribuição de flexão estimada — é a rotina que você deve aplicar na prova quando pedem tensões combinadas na raiz.]
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Na raiz da rosca (com as hipóteses explicadas):
\sigma_{flexão (raiz)}\approx 13{,}64\ MPa,\quad \tau_{raiz (torsão)}\approx 12{,}18\ MPa,\quad \sigma_{VM}\approx 40{,}53\ MPa,\quad \tau_{\max}\approx 21{,}16\ MPa.
\sigma_{flexão (raiz)}\approx 13{,}64\ MPa,\quad \tau_{raiz (torsão)}\approx 12{,}18\ MPa,\quad \sigma_{VM}\approx 40{,}53\ MPa,\quad \tau_{\max}\approx 21{,}16\ MPa.