Questão 1. ( 3,5 pontos) Um parafuso de potência de 40 mm de rosqueado único tem diâmetro de 40 mm , com um passo de 8 mm . Uma carga vertical nesse parafuso alcança um máximo de 15 kN. Os coeficientes de fricção são 0,05 para o colar e 0,08 para as roscas. O diâmetro friccional do colar é de 60 mm .
a) Encontre a profundidade e a largura de rosca, os diâmetros médio e de raiz e o avanço.
b) Encontre o torque requerido para elevar e baixar a carga.
c) Encontre a eficiência durante a elevação da carga.
d) Encontre as tensões de corpo, torcional e compressiva
e) Encontre as tensões de apoio.
f) Encontre as tensões de rosca flexionando na raiz, cisalhando na raiz, a tensão de Von Mises e a tensão de cisalhamento máximo no mesmo local.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas para um parafuso de potência (rosca simples) cujos dados são:
d=40\\ \text{mm} (diâmetro nominal / maior diâmetro)
p=8\\ \text{mm} (passo, rosca simples → avanço = passo)
F_{\max}=15\\ \text{kN}=15000\\ \text{N} (carga vertical máxima)
\mu_{\text{colar}}=0{,}05 (coeficiente de atrito no colar)
\mu_{\text{rosca}}=0{,}08 (coeficiente de atrito nas roscas)
d_{\text{colar}}=60\\ \text{mm} (diâmetro friccional do colar)
As perguntas (a–f) são:
a) Encontre profundidade e largura da rosca, os diâmetros médio (pitch) e de raiz e o avanço.
b) Encontre o torque requerido para elevar e baixar a carga.
c) Encontre a eficiência durante a elevação da carga.
d) Encontre as tensões de corpo (axial), torcional e compressiva (no colar).
e) Encontre as tensões de apoio (pressões de contato na rosca e no colar).
f) Na raiz da rosca: tensão de flexão (bending), tensão de cisalhamento, tensão de Von Mises e tensão de cisalhamento máximo — todas no mesmo ponto (faço hipóteses claras no passo de resolução).
Não há figura a mais; vou usar as fórmulas padrão de rosca métrica ISO (perfil de 60^\circ) e algumas hipóteses razoáveis quando o enunciado não especifica detalhes geométricos adicionais (eu explico cada hipótese ao usar).

Passo 2

Geometria da rosca — fórmulas básicas e explicação didática
Explicação rápida da geometria: para perfis de rosca triangular 60^\circ (padrão métrico) usamos parâmetros padronizados: altura do triângulo teórico H=\dfrac{\sqrt{3}}{2}p, mas por causa da truncatura prática existem relações usuais para diâmetros de passo (médio) e de raiz. Fórmulas padrão (valores tabulados para roscas métricas) que eu vou usar e justificar:
  • Diâmetro médio (diâmetro de passo) aproximado: \displaystyle d_m = d - 0{,}64952\,p. Esse valor vem da definição do diâmetro de passo na rosca ISO.
  • Diâmetro de raiz (menor diâmetro do filete externo): \displaystyle d_r = d - 1{,}22687\,p.
  • Profundidade radial efetiva da rosca (altura do filete radial): \displaystyle h = 0{,}61343\,p. Isso é metade da diferença entre maior e menor diâmetro: h=(d-d_r)/2.
  • Largura/espessura efetiva do filete (espessura axial da crista no diâmetro de passo): valor prático padronizado \displaystyle t\approx 0{,}54127\,p. É a espessura do “dente” da rosca medida ao nível do diâmetro de passo.
  • Avanço (lead) para rosca simples: \displaystyle l = p.
Agora calculamos numericamente usando p=8\\ \text{mm}.
Cálculos (mostro contas para você repetir facilmente na prova):
\begin{aligned} d_m &= d - 0{,}64952\,p = 40 - 0{,}64952\cdot 8 = 40 - 5{,}19616 = 34{,}80384\\ \text{mm},\\[4pt] d_r &= d - 1{,}22687\,p = 40 - 1{,}22687\cdot 8 = 40 - 9{,}81496 = 30{,}18504\\ \text{mm},\\[4pt] h &= 0{,}61343\,p = 0{,}61343\cdot 8 = 4{,}90744\\ \text{mm},\\[4pt] t &\approx 0{,}54127\,p = 0{,}54127\cdot 8 = 4{,}33016\\ \text{mm},\\[4pt] l &= p = 8\\ \text{mm}. \end{aligned}
Observação: eu usei as constantes padronizadas (0,64952; 1,22687; 0,61343; 0,54127) que aparecem em tabelas de roscas métricas ISO e que tornam as contas diretas na prova.]

Passo 3

Torque para elevar e baixar — teoria, fórmulas e cálculo
  1. Conceitos necessários (passo a passo):
  • A rosca atua como uma hélice: o ângulo de hélice \lambda satisfaz \tan\lambda = \dfrac{l}{\pi d_m}. Esse ângulo caracteriza quanto avanço axial há por giro e aparece nas relações força ↔ torque.
  • Fricção nas roscas: para perfil triangular 60^\circ a ação da fricção nas flancas aumenta o efeito do coeficiente \mu_{\text{rosca}}. Uma aproximação prática e muito usada é usar um coeficiente de fricção “efetivo” \mu_{\text{ef}} dado por \displaystyle \mu_{\text{ef}}=\dfrac{\mu_{\text{rosca}}}{\cos(\alpha/2)}, onde \alpha é o ângulo do perfil (aqui \alpha=60^\circ, então \alpha/2=30^\circ). Isso reflete que a força normal na flanca tem componente que amplia a resistência ao deslizamento. (É uma aproximação padrão em problemas de parafusos.)
  • Torque devido à rosca (modelo simplificado similar ao caso de filete quadrado, mas com \mu substituído por \mu_{\text{ef}}): para subir a carga, a expressão prática é
T_{\text{rosca}}=F\cdot\frac{d_m}{2}\big(\tan\lambda + \mu_{\text{ef}}\big).
  • Torque devido ao colar (atrito radiado sob a cabeça/colar): assumimos que a reação normal no colar é igual a F (hipótese usual quando o colar suporta axialmente a carga) e o torque por atrito no colar é
T_{\text{colar}}=\mu_{\text{colar}}\;F\;\frac{d_{\text{colar}}}{2}.
  • Torques somam-se: para elevar, T_{\text{subir}}=T_{\text{rosca}}+T_{\text{colar}}. Para baixar, a componente de hélice muda de sinal: uma expressão prática (quando o parafuso é auto travante ou quase) é
T_{\text{descer}}=F\cdot\frac{d_m}{2}\big(\mu_{\text{ef}}-\tan\lambda\big)+T_{\text{colar}}
(se \mu_{\text{ef}}>\tan\lambda obtém-se torque positivo a ser aplicado para controlar a descida).
  1. Cálculos numéricos passo a passo:
Calcule \tan\lambda:
\tan\lambda=\frac{l}{\pi d_m}=\frac{8}{\pi\cdot 34{,}80384}\approx 0{,}073174.
Coeficiente de fricção efetivo nas flancas:
\mu_{\text{ef}}=\frac{\mu_{\text{rosca}}}{\cos 30^\circ}=\frac{0{,}08}{0{,}8660254}\approx 0{,}09238.
Raio médio:
r_m=\frac{d_m}{2}=17{,}40192\\ \text{mm}.
Torque da rosca (subir):
T_{\text{rosca}}=F\;r_m\;(\tan\lambda+\mu_{\text{ef}})=15000\cdot 17{,}40192\cdot(0{,}073174+0{,}09238)\approx 43{,}205\\ \text{N·m}.
Torque do colar:
T_{\text{colar}}=\mu_{\text{colar}}\;F\;\frac{d_{\text{colar}}}{2}=0{,}05\cdot 15000\cdot 30=22{,}500\\ \text{N·m}.
Torque total para elevar:
T_{\text{subir}}=T_{\text{rosca}}+T_{\text{colar}}\approx 43{,}205+22{,}500=65{,}705\\ \text{N·m}\\ (\text{aprox. }65{,}7\\ \text{N·m}).
Torque para baixar (controlar a descida):
T_{\text{descer}}=15000\cdot 17{,}40192\cdot(0{,}09238-0{,}073174)+22{,}500\approx 27{,}510\\ \text{N·m}\\ (\text{aprox. }27{,}5\\ \text{N·m}).
Comentários práticos: se \mu_{\text{ef}}<\tan\lambda o parafuso não é auto-travante e a descida exigiria torque de sinal contrário; aqui \mu_{\text{ef}}>\tan\lambda (0,09238 > 0,07317), então há atrito suficiente para parte do bloqueio, e T_{\text{descer}} é positivo (isto é, é preciso aplicar torque para controlar a descida).

Passo 4

Eficiência durante a elevação — instrução e cálculo
Definição prática: eficiência \eta = trabalho útil por volta / trabalho fornecido por volta = \dfrac{F\cdot l}{2\pi\,T_{\text{subir}}}.
Cálculo numérico:
\eta=\frac{F\,l}{2\pi\,T_{\text{subir}}}=\frac{15000\cdot 8}{2\pi\cdot 65705}\approx 0{,}2905\approx 29{,}05\%.
Interpretação: só cerca de 29% da energia fornecida ao torque é convertida em trabalho axial — o resto é perdido por atrito (rosca + colar).

Passo 5

Tensões no corpo (haste), torcional e compressiva (colar) — teoria e contas
  1. Tensão axial (compressiva) no corpo (se considerarmos a seção nominal do corpo com diâmetro d=40\\ \text{mm}):
Área da seção:
A=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi\cdot 40^2}{4}=\pi\cdot 400\approx 1256{,}637\\ \text{mm}^2.
Tensão axial média:
\sigma_{\text{axial}}=\frac{F}{A}=\frac{15000}{1256{,}637}\approx 11{,}937\\ \text{MPa}.
  1. Tensão cisalhante devido ao torque (torsional shear) na haste (seção circular maciça):
Polar segundo momento de área (torsão):
J=\frac{\pi d^4}{32}=\frac{\pi\cdot 40^4}{32}=\pi\cdot 80{,}000\approx 251{,}327{,}4\\ \text{mm}^4.
raio c=d/2=20\\ \text{mm}. A tensão de cisalhamento máxima (no contorno) é
\tau_{\text{torsão}}=\frac{T_{\text{subir}}\;c}{J}=\frac{65705\cdot 20}{251327{,}4}\approx 5{,}23\\ \text{MPa}.ã
  1. Tensão compressiva média sob o colar (pressão de apoio do colar) — interpreto o colar como um anel que apoia do diâmetro interno igual ao diâmetro do parafuso d até o diâmetro externo dado d_{\text{colar}}=60\\ \text{mm}. Área do anel:
A_{\text{colar}}=\frac{\pi}{4}\big(d_{\text{colar}}^2-d^2\big)=\frac{\pi}{4}(60^2-40^2)=\pi\cdot 500\approx 1570{,}796\\ \text{mm}^2.
Tensão média (compressiva) no colar:
\sigma_{\text{colar}}=\frac{F}{A_{\text{colar}}}=\frac{15000}{1570{,}796}\approx 9{,}55\\ \text{MPa}.
Observação: essa é uma aproximação média de apoio; pressões locais podem ser maiores dependendo do acabamento, mas é a forma de estimativa padrão quando só temos os diâmetros.

Passo 6

Tensões de apoio (pressões de contato) e tensões na raiz da rosca — teoria, hipóteses e cálculo
Parte (e) — Tensões de apoio (pressões):
  1. Pressão média na superfície de contato do colar (já calculada no passo anterior): \sigma_{\text{colar}}\approx 9{,}55\\ \text{MPa}.
  2. Pressão média de apoio na rosca (pressão de contato ao longo do corpo do filete): uma estimativa prática é dividir a carga pela área projetada de contato axial entre a rosca externa e o contra-porca. Uma aproximação simples para a área projetada de contato da rosca é A_{\text{rosca}}\approx \pi d_m \, h (circunferência média vezes a “altura” radial do filete que suporta carga). Assim:
A_{\text{rosca}}\approx \pi d_m h=\pi\cdot 34{,}80384\cdot 4{,}90744\approx 536{,}466\\ \text{mm}^2,
e a pressão média na rosca:
p_{\text{rosca}}=\frac{F}{A_{\text{rosca}}}\approx\frac{15000}{536{,}466}\approx 27{,}96\\ \text{MPa}.
Comentário: essa é uma média projetada; picos locais no filete (na raiz) podem ser maiores.
Parte (f) — Tensões na raiz da rosca: hipóteses e raciocínio
Hipótese necessária (porque o enunciado não dá todas as dimensões de filete e nem distribuição exata da carga):
  • Vou analisar a seção na raiz da rosca (menor diâmetro d_r) e computar tensões resultantes de: tensão axial média (compressiva), tensão de flexão estimada por uma hipótese razoável de excentricidade do carregamento na raiz e tensão de cisalhamento causada pelo torque total. Essa é uma abordagem típica em problemas de projeto quando se pede tensões combinadas na raiz.
  • Hipótese para a excentricidade que gera flexão: assumo que a força resultante nas flancas age com um pequeno braço de alavanca igual à metade da altura do filete, e=h/2. Essa é uma aproximação usada para estimar um momento fletor local na raiz devido à distribuição assimétrica da pressão sobre a seção do filete.
Cálculos passo a passo:
  1. Área à raiz:
A_r=\frac{\pi d_r^2}{4}=\frac{\pi\cdot 30{,}18504^2}{4}\approx 715{,}187\\ \text{mm}^2.
Tensão axial média na raiz:
\sigma_{ax,r}=\frac{F}{A_r}=\frac{15000}{715{,}187}\approx 20{,}97\\ \text{MPa}.
  1. Tensão de cisalhamento por torque na raiz (usar o polar momento correspondente ao diâmetro d_r):
J_r=\frac{\pi d_r^4}{32}\quad\Rightarrow\quad \tau_{r,\text{torsão}}=\frac{T_{\text{subir}}\; (d_r/2)}{J_r}.ã
Numericamente (valores calculados):
\tau_{r,\text{torsão}}\approx 12{,}18\\ \text{MPa}.ã
  1. Tensão de flexão aproximada na raiz (hipótese de excentricidade e=h/2):
Momento fletor estimado:
M=F\cdot e=15000\cdot\frac{h}{2}=15000\cdot 2{,}45372\approx 36{,}805{,}8\\ \text{N·mm}.
Momento de inércia da seção circular de diâmetro d_r:
I_r=\frac{\pi d_r^4}{64}=\frac{J_r}{2}\approx 40{,}724{,}5\\ \text{mm}^4.
braço y=d_r/2\approx 15{,}0925\\ \text{mm}. Então a tensão de flexão (extrema) é
\sigma_{b,r}=\frac{M\,y}{I_r}\approx 13{,}64\\ \text{MPa}.
  1. Tensão normal total (na fibra mais solicitada) — soma de axial + flexão (mesmo sinal, para considerar o pior caso):
\sigma_{\text{total}}=\sigma_{ax,r}+\sigma_{b,r}\approx 20{,}97 + 13{,}64 = 34{,}61\\ \text{MPa}.
  1. Cálculo da tensão de Von Mises e da máxima tensão de cisalhamento nesse ponto (assumindo um estado de tensão com uma componente normal \sigma_{\text{total}} e uma componente de cisalhamento \tau_{r,\text{torsão}}ã) — fórmulas padrão:
  • Tensão de Von Mises (para combinação de tensão normal uniaxial e cisalhamento puro): \displaystyle \sigma_{VM}=\sqrt{\sigma_{\text{total}}^{2}+3\,\tau_{r,\text{torsão}}^{2}}ã.
  • Tensão de cisalhamento máxima (criterial de máxima distorção / máxima diferença principal): \displaystyle \tau_{\max}=\sqrt{\Big(\frac{\sigma_{\text{total}}}{2}\Big)^{2}+\tau_{r,\text{torsão}}^{2}}ã.
Numéricos:
\begin{aligned} \sigma_{VM}&\approx \sqrt{34{,}61^2 + 3\cdot 12{,}18^2}\approx 40{,}53\\ \text{MPa},\\[4pt] \tau_{\max}&\approx \sqrt{\Big(\frac{34{,}61}{2}\Big)^2 + 12{,}18^2}\approx 21{,}16\\ \text{MPa}. \end{aligned}
Comentários finais sobre o passo: as estimativas de flexão na raiz dependem da hipótese de excentricidade; se houvesse informação mais precisa sobre como a carga é transmitida entre flancos, poderíamos refinar. Ainda assim, a sequência de cálculo — encontrar área à raiz, tensão axial média, tensão por torção usando J, e somar contribuição de flexão estimada — é a rotina que você deve aplicar na prova quando pedem tensões combinadas na raiz.]

Resposta

(a) h=4{,}90744\\ \text{mm},\quad t=4{,}33016\\ \text{mm},\quad d_m=34{,}80384\\ \text{mm},\quad d_r=30{,}18504\\ \text{mm},\quad l=8\\ \text{mm}.
(b) T_{\text{subir}}\approx 65{,}705\\ \text{N·m}\quad\text{(aprox. 65{,}7 N·m)},\quad T_{\text{descer}}\approx 27{,}510\\ \text{N·m}\quad\text{(aprox. 27{,}5 N·m)}.
(c) \eta\approx 0{,}2905\quad(\text{aprox. }29{,}05\%).
(d) \sigma_{\text{axial (haste)}}\approx 11{,}94\\ \text{MPa},\quad \tau_{\text{torsão (haste)}}\approx 5{,}23\\ \text{MPa},\quad \sigma_{\text{colar}}\approx 9{,}55\\ \text{MPa}.ã
(e) p_{\text{rosca (média)}}\approx 27{,}96\\ \text{MPa},\quad p_{\text{colar (média)}}\approx 9{,}55\\ \text{MPa}.éé
(f) Na raiz da rosca (com as hipóteses explicadas):
\sigma_{flexão (raiz)}\approx 13{,}64\ MPa,\quad \tau_{raiz (torsão)}\approx 12{,}18\ MPa,\quad \sigma_{VM}\approx 40{,}53\ MPa,\quad \tau_{\max}\approx 21{,}16\ MPa.

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