Questão 1. (
pontos) Considere um fio cilíndrico de raio
e comprimento
. Quando uma voltagem de
é aplicada, uma corrente uniforme de
é medida.
a) ( 0,5 ponto) Qual é a resistência
do fio?
b) (
ponto) Qual é a resistividade
do fio?
Agora, considere que o interior do fio até o raio
foi removido, ao longo de todo o comprimento.
a) (
ponto) Qual é a nova resistência do fio?
b) (
ponto) Se a mesma voltagem de
for aplicada no novo fio, qual é a densidade de corrente do fio?
c) ( 0,5 ponto) Se a densidade de portadores de carga for
, qual a velocidade de deriva do novo fio?
a) ( 0,5 ponto) Qual é a resistência
b) (
a) (
b) (
c) ( 0,5 ponto) Se a densidade de portadores de carga for
Passo 1
Resumo do enunciado — o que é dado e o que é pedido:
- Dados do fio original:
- Raio externo
(ou seja ). - Comprimento
. - Tensão aplicada
(ou seja ). - Corrente medida
.
- Raio externo
- Pedidos iniciais:
a) Resistência do fio original.
b) Resistividadedo material do fio. - Nova situação: o interior do fio foi removido até o raio
(ou seja ), formando um tubo cilíndrico oco de comprimento . - Pedidos para o fio oco:
a) Nova resistência do fio.
b) Aplicando(ou seja ), qual a densidade de corrente do fio novo.
c) Se a densidade de portadores for, qual a velocidade de deriva no novo fio.
Observação: todos os valores numéricos do enunciado foram anotados acima. A resolução começa agora.
Passo 2
Passo didático — como achar a resistência elétrica:
- A lei de Ohm para um resistor ôhmico relaciona tensão, corrente e resistência por
onde
é a resistência (em
),
é a tensão (em V) e
é a corrente (em A).
- Vamos aplicar essa fórmula ao fio original para responder a parte (a).
Passo 3
Cálculo da resistência do fio original:
- Usando
com e ,
- Arredondando para três algarismos significativos,
Passo 4
Passo didático — área da seção transversal e fórmula da resistividade:
- Para um fio cilíndrico maciço, a área da seção transversal é a área do círculo
onde
é o raio do fio (em m) e
em
.
- A resistência de um fio uniforme relaciona-se com a resistividade
pela fórmula
onde
é a resistividade (em
) e
é o comprimento (em m).
- Dessa fórmula, isolamos
:
- Vamos calcular a área do fio maciço e então
.
Passo 5
Cálculo da resistividade
:
- Raio
. Então
- Usando
e ,
- Calculando:
- Produto no numerador:
. - Dividindo por
: .
- Produto no numerador:
- Arredondando para três algarismos significativos,
Passo 6
Passo didático — área da seção transversal de um tubo cilíndrico (anel):
- Quando o interior até raio
é removido, a área que conduz corrente é a área de anel entre raio externo e interno :
- Valores:
e . - Vamos calcular
.
Passo 7
Cálculo da nova área da seção transversal:
- Primeiro os quadrados:
-
. -
.
-
- Diferença:
- Multiplicando por
:
- Arredondando,
Passo 8
Cálculo da nova resistência do fio oco:
- A resistência do novo fio (mesmo comprimento, mesma resistividade) é
- Usando
, e ,
- Calculando:
- Numerador:
. - Dividindo:
.
- Numerador:
- Arredondando,
Passo 9
Cálculo da corrente no novo fio quando
é aplicada e definição de densidade de corrente:
- A corrente no novo fio é dada por Ohm:
com
.
- A densidade de corrente (magnitude média) é definida como
onde
tem unidades
.
- Vamos calcular
e depois .
Passo 10
Cálculo de
e da densidade de corrente
:
- Corrente:
- Densidade de corrente:
- Arredondando:
Passo 11
Passo didático — velocidade de deriva e sua relação com
:
- A corrente total pode ser escrita em termos da velocidade de deriva
como
onde
-
é a densidade de portadores (em ), -
é a carga de cada portador (para elétrons ), -
é a velocidade de deriva (em ), -
é a área condutora. - Dividindo ambos os lados por
obtemos a relação entre densidade de corrente e velocidade de deriva:
- Vamos usar
, e .
Passo 12
Cálculo da velocidade de deriva
:
- Primeiro calcular
:
- Agora
- Arredondando para três algarismos significativos,