Questão 1. ( \mathbf{4 , 0} pontos) Considere um fio cilíndrico de raio R=4,2 \mathrm{~mm} e comprimento L=1,8 \mathrm{~m}. Quando uma voltagem de 1,3 \mathrm{mV} é aplicada, uma corrente uniforme de 2,2 \mathrm{~A} é medida.
a) ( 0,5 ponto) Qual é a resistência R do fio?
b) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Qual é a resistividade \rho do fio?
Agora, considere que o interior do fio até o raio 2,1 \mathrm{~mm} foi removido, ao longo de todo o comprimento.
a) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Qual é a nova resistência do fio?
b) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Se a mesma voltagem de 1,1 \mathrm{mV} for aplicada no novo fio, qual é a densidade de corrente do fio?
c) ( 0,5 ponto) Se a densidade de portadores de carga for n=8,49 \times 10^{28} \mathrm{~m}^{-3}, qual a velocidade de deriva do novo fio?

Passo 1

Resumo do enunciado — o que é dado e o que é pedido:
  • Dados do fio original:
    • Raio externo R=4,2\\ \mathrm{mm} (ou seja R=4,2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}).
    • Comprimento L=1,8\\ \mathrm{m}.
    • Tensão aplicada V=1,3\\ \mathrm{mV} (ou seja V=1,3\times10^{-3}\\ \mathrm{V}).
    • Corrente medida I=2,2\\ \mathrm{A}.
  • Pedidos iniciais:
    a) Resistência do fio original.
    b) Resistividade \rho do material do fio.
  • Nova situação: o interior do fio foi removido até o raio 2,1\\ \mathrm{mm} (ou seja r_{\text{int}}=2,1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}), formando um tubo cilíndrico oco de comprimento L.
  • Pedidos para o fio oco:
    a) Nova resistência do fio.
    b) Aplicando V'=1,1\\ \mathrm{mV} (ou seja V'=1,1\times10^{-3}\\ \mathrm{V}), qual a densidade de corrente do fio novo.
    c) Se a densidade de portadores for n=8,49\times10^{28}\\ \mathrm{m}^{-3}, qual a velocidade de deriva no novo fio.
Observação: todos os valores numéricos do enunciado foram anotados acima. A resolução começa agora.

Passo 2

Passo didático — como achar a resistência elétrica:
  • A lei de Ohm para um resistor ôhmico relaciona tensão, corrente e resistência por
R=\frac{V}{I},
onde R é a resistência (em \Omega), V é a tensão (em V) e I é a corrente (em A).
  • Vamos aplicar essa fórmula ao fio original para responder a parte (a).

Passo 3

Cálculo da resistência do fio original:
  • Usando \;R=\dfrac{V}{I}\; com V=1,3\times10^{-3}\\ \mathrm{V} e I=2,2\\ \mathrm{A},
R=\frac{1,3\times10^{-3}}{2,2}=5,90909\ldots\times10^{-4}\\ \Omega.
  • Arredondando para três algarismos significativos,
R=5,91\times10^{-4}\\ \Omega.

Passo 4

Passo didático — área da seção transversal e fórmula da resistividade:
  • Para um fio cilíndrico maciço, a área da seção transversal é a área do círculo
A=\pi r^2,
onde r é o raio do fio (em m) e A em \mathrm{m}^2.
  • A resistência de um fio uniforme relaciona-se com a resistividade \rho pela fórmula
R=\rho\frac{L}{A},
onde \rho é a resistividade (em \Omega\cdot\mathrm{m}) e L é o comprimento (em m).
  • Dessa fórmula, isolamos \rho:
\rho=R\frac{A}{L}.
  • Vamos calcular a área do fio maciço e então \rho.

Passo 5

Cálculo da resistividade \rho:
  • Raio r=R=4,2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. Então
A=\pi r^2=\pi(4,2\times10^{-3})^2=\pi(1,764\times10^{-5})=5,5418\ldots\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
  • Usando R=5,90909\times10^{-4}\\ \Omega e L=1,8\\ \mathrm{m},
\rho=R\frac{A}{L}=\left(5,90909\times10^{-4}\right)\frac{5,5418\times10^{-5}}{1,8}.
  • Calculando:
    • Produto no numerador: 5,90909\times10^{-4}\times5,5418\times10^{-5}=3,2769\times10^{-8}.
    • Dividindo por 1,8: \rho=1,8205\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • Arredondando para três algarismos significativos,
\rho=1,82\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 6

Passo didático — área da seção transversal de um tubo cilíndrico (anel):
  • Quando o interior até raio r_{\text{int}} é removido, a área que conduz corrente é a área de anel entre raio externo R e interno r_{\text{int}}:
A_{\text{novo}}=\pi\left(R^2-r_{\text{int}}^2\right).
  • Valores: R=4,2\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e r_{\text{int}}=2,1\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Vamos calcular A_{\text{novo}}.

Passo 7

Cálculo da nova área da seção transversal:
  • Primeiro os quadrados:
    • R^2=(4,2\times10^{-3})^2=1,764\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
    • r_{\text{int}}^2=(2,1\times10^{-3})^2=4,41\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
  • Diferença:
R^2-r_{\text{int}}^2=1,323\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
  • Multiplicando por \pi:
A_{\text{novo}}=\pi(1,323\times10^{-5})=4,1570\ldots\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
  • Arredondando,
A_{\text{novo}}=4,16\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 8

Cálculo da nova resistência do fio oco:
  • A resistência do novo fio (mesmo comprimento, mesma resistividade) é
R_{\text{novo}}=\rho\frac{L}{A_{\text{novo}}}.
  • Usando \rho=1,8205\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}, L=1,8\\ \mathrm{m} e A_{\text{novo}}=4,1570\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2,
R_{\text{novo}}=\frac{1,8205\times10^{-8}\times1,8}{4,1570\times10^{-5}}.
  • Calculando:
    • Numerador: 1,8205\times10^{-8}\times1,8=3,2769\times10^{-8}.
    • Dividindo: R_{\text{novo}}=7,882\times10^{-4}\\ \Omega.
  • Arredondando,
R_{\text{novo}}=7,88\times10^{-4}\\ \Omega.

Passo 9

Cálculo da corrente no novo fio quando V'=1,1\\ \mathrm{mV} é aplicada e definição de densidade de corrente:
  • A corrente no novo fio é dada por Ohm:
I'=\frac{V'}{R_{\text{novo}}},
com V'=1,1\times10^{-3}\\ \mathrm{V}.
  • A densidade de corrente (magnitude média) é definida como
J=\frac{I'}{A_{\text{novo}}},
onde J tem unidades \mathrm{A}/\mathrm{m}^2.
  • Vamos calcular I' e depois J.

Passo 10

Cálculo de I' e da densidade de corrente J:
  • Corrente:
I'=\frac{1,1\times10^{-3}}{7,882\times10^{-4}}=1,396\\ \mathrm{A}.
  • Densidade de corrente:
J=\frac{1,396}{4,1570\times10^{-5}}=3,3578\times10^{4}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^2.
  • Arredondando:
I'=1,40\\ \mathrm{A},\qquad J=3,36\times10^{4}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^2.

Passo 11

Passo didático — velocidade de deriva e sua relação com J:
  • A corrente total pode ser escrita em termos da velocidade de deriva v_d como
I=nqv_dA,
onde
  • n é a densidade de portadores (em \mathrm{m}^{-3}),
  • q é a carga de cada portador (para elétrons q=e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}),
  • v_d é a velocidade de deriva (em \mathrm{m}/\mathrm{s}),
  • A é a área condutora.
  • Dividindo ambos os lados por A obtemos a relação entre densidade de corrente e velocidade de deriva:
J=n q v_d \quad\Rightarrow\quad v_d=\frac{J}{n q}.
  • Vamos usar J=3,3578\times10^{4}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^2, n=8,49\times10^{28}\\ \mathrm{m}^{-3} e q=e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.

Passo 12

Cálculo da velocidade de deriva v_d:
  • Primeiro calcular nq:
nq=(8,49\times10^{28})(1,602176634\times10^{-19})=1,36025\times10^{10}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^3.
  • Agora
v_d=\frac{J}{nq}=\frac{3,3578\times10^{4}}{1,36025\times10^{10}}=2,468\times10^{-6}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Arredondando para três algarismos significativos,
v_d=2,47\times10^{-6}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Resposta

R=5,91\times10^{-4}\\ \Omega
\rho=1,82\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
R_{\text{novo}}=7,88\times10^{-4}\\ \Omega
J=3,36\times10^{4}\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}^2
v_d=2,47\times10^{-6}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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