Questão 1. (3,5 pontos) Seu amigo Lucas está empinando uma pipa durante uma tempestade. Você quer avaliar se ele está correndo risco nessa atividade e avisá-lo. Suponha que a linha da pipa tem uma seção transversal quadrada de lado 4,0 \mathrm{~mm}, cobre uma distância de 0,500 \mathrm{~km} na vertical e está coberta por uma camada de água de 2,507 \mathrm{~mm} de raio com relação ao centro do fio. A resistividade da água é 150 \Omega \cdot m.
a) ( \mathbf{2 , 0} pontos) Encontre a resistência da linha da pipa. Dica: Encontre a área da capa de água que está ao redor do fio quadrado.
b) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Se a diferença de potencial entre as extremidades da linha é 200 MV , qual é a corrente na camada de água?
c) ( \mathbf{0 , 5} ponto) Considerando que correntes elétricas entre 100 mA e 200 mA são suficientes para matar uma pessoa e entre 1 mA a 10 mA geram apenas formigamento, você diria que Lucas está correndo risco de morte empinando a pipa na tempestade? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Calcular a resistência da camada de água que envolve a linha da pipa ao longo do trecho vertical de 0,500\\ \mathrm{km}.
  2. (b) Com uma diferença de potencial de 200\\ \mathrm{MV}, calcular a corrente que percorre essa camada de água.
  3. (c) Dizer se Lucas corre risco de morrer, usando as faixas de corrente dadas.
Informações fornecidas (vou listar exatamente os números do enunciado):
  • seção transversal do fio (núcleo) é quadrada de lado 4{,}0\\ \mathrm{mm};
  • a camada de água tem raio 2{,}507\\ \mathrm{mm} em relação ao centro do fio (ou seja, a água ocupa a região fora do quadrado até um círculo de raio 2{,}507\\ \mathrm{mm});
  • comprimento vertical considerado 0{,}500\\ \mathrm{km};
  • resistividade da água \rho = 150\\ \Omega\cdot m;
  • diferença de potencial entre as extremidades V=200\\ \mathrm{MV};
  • faixas de perigo: 1\\ \mathrm{mA} a 10\\ \mathrm{mA} = formigamento; 100\\ \mathrm{mA} a 200\\ \mathrm{mA} = potencialmente letal.

Passo 2

Plano de cálculo e fórmulas usadas (explicando fórmulas e variáveis):
  • A resistência elétrica de um condutor homogêneo é dada por
R=\rho\frac{L}{A},
onde \rho é a resistividade do material (unidade \Omega\cdot m), L é o comprimento ao longo do qual a corrente flui (unidade m) e A é a área da seção transversal por onde a corrente passa (unidade m^2). Vou usar essa fórmula para a camada de água.
  • A área da camada de água, no enunciado, é a área do círculo de raio r (a superfície externa da água) menos a área do quadrado (o núcleo). Ou seja,
A = \pi r^2 - a^2,
onde r é o raio externo ( 2{,}507\\ \mathrm{mm}) e a é o lado do quadrado ( 4{,}0\\ \mathrm{mm}).
  • Para a corrente usarei a Lei de Ohm em forma de corrente:
I=\frac{V}{R},
onde V é a diferença de potencial.
Vou primeiro converter todas as unidades para o SI (metros).

Passo 3

Conversão de unidades e cálculo das áreas (explicando cada passo):
  • Converter mm para m:
a = 4{,}0\\ \mathrm{mm} = 4{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m},
r = 2{,}507\\ \mathrm{mm} = 2{,}507\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Área do quadrado (núcleo):
a^2 = \bigl(4{,}0\times 10^{-3}\bigr)^2 = 16{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 = 1{,}6\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
  • Área do círculo externo:
\pi r^2 = \pi\bigl(2{,}507\times 10^{-3}\bigr)^2.
Calculemos r^2:
r^2=(2{,}507\times 10^{-3})^2 = 6{,}285049\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
Portanto
\pi r^2 \approx \pi \cdot 6{,}285049\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2 \approx 1{,}97495\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
  • Área da camada de água (diferença):
A = \pi r^2 - a^2 \approx 1{,}97495\times 10^{-5} - 1{,}6\times 10^{-5} = 3{,}7495\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Cálculo da resistência da camada de água (mostrando substituição e conta):
  • Comprimento em metros:
L = 0{,}500\\ \mathrm{km} = 500\\ \mathrm{m}.
  • Aplicando R=\rho L/A:
R = 150\\ \Omega\cdot m \times \frac{500\\ \mathrm{m}}{3{,}7495\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2}.
Calcule o numerador:
150\times 500 = 75\,000.
Então
R \approx \frac{75\,000}{3{,}7495\times 10^{-6}}\\ \Omega \approx 2{,}00\times 10^{10}\\ \Omega.
(Valor calculado: R\approx 2{,}000133\times 10^{10}\\ \Omega; arredondando para três algarismos significativos fica 2{,}00\times 10^{10}\\ \Omega.)

Passo 5

Cálculo da corrente com a diferença de potencial dada (explicando Ohm):
  • Diferença de potencial:
V = 200\\ \mathrm{MV} = 200\times 10^{6}\\ \mathrm{V}=2{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{V}.
  • Pela Lei de Ohm I=V/R:
I = \frac{2{,}00\times 10^{8}\\ \mathrm{V}}{2{,}000133\times 10^{10}\\ \Omega}\approx 9{,}999\times 10^{-3}\\ \mathrm{A}.
Converter para miliampères:
I \approx 9{,}999\times 10^{-3}\\ \mathrm{A} \approx 10{,}0\\ \mathrm{mA}.

Passo 6

Interpretação quanto ao risco (usando as faixas do enunciado e sendo direto e empático):
  • As faixas fornecidas dizem que correntes entre 1\\ \mathrm{mA} e 10\\ \mathrm{mA} produzem formigamento; 100\\ \mathrm{mA} a 200\\ \mathrm{mA} podem ser letais.
  • A corrente que calculamos é \approx 10{,}0\\ \mathrm{mA}, ou seja, está no limite superior da faixa de formigamento. Isso significa que Lucas provavelmente sentiria um choque forte (formigamento, possível contração muscular). Não corresponde à faixa típica de correntes letais ( \ge 100\\ \mathrm{mA}), portanto, com os valores assumidos, não é provável que essa corrente seja diretamente letal por si só. Porém:
    • limiares de perigo variam de pessoa para pessoa e dependendo do trajeto da corrente pelo corpo, da duração do choque e de condições médicas;
    • uma contração forte pode fazer Lucas perder controle da pipa e sofrer outros acidentes (quedas, cortes, etc.).
  • Conclusão prática: eu avisaria o Lucas para parar imediatamente — embora o valor calculado não esteja na faixa típica de morte instantânea, é perigoso (chegando ao limite do formigamento) e pode causar acidentes. Melhor prevenir.

Resposta

(a) R\approx 2{,}00\times 10^{10}\\ \Omega\n
(b) I\approx 9{,}999\times 10^{-3}\\ \mathrm{A}=10{,}0\\ \mathrm{mA}\n
(c) Não é muito provável que morra diretamente por essa corrente (não está na faixa de 100\\ \mathrm{mA} a 200\\ \mathrm{mA}), mas está no limite superior do formigamento ( \sim 10\\ \mathrm{mA}) — portanto é perigoso e deve parar imediatamente.

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