Questão 1. (3,0 pontos). Determine se a afirmação é Verdadeira ou Falsa, justificando sua resposta.
Seja
, então
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação é Verdadeira ou Falsa e justificar. A afirmação é: "Seja
, então
".
Informações dadas:
- A função
é definida por para todo . Ou seja, é uma função constante com valor . - A pergunta exige avaliar a derivada de
(ou seja, a taxa de variação de em relação a ) e decidir se a igualdade é correta.
Passo 2
Lembrete do conceito que vamos usar: definição de derivada pela diferença quociente (limite). Para uma função
que é diferenciável em
, a derivada
é
onde
é um incremento em
que tende a zero. Aqui:
-
é o valor da função no ponto . -
é o valor da função no ponto . - O quociente
mede a variação média da função no intervalo de comprimento . - Se esse limite existe, ele é a taxa instantânea de variação (derivada) em
.
Explicação intuitiva (sem formalidade): a derivada mede a inclinação da reta tangente ao gráfico. Se a função é constante (gráfico horizontal), espera-se inclinação zero.
Passo 3
Aplicando a definição à função constante
. Primeiro note que, para qualquer
e qualquer
,
porque o valor da função não depende de
.
Substituindo na definição:
Passo 4
Continuando a simplificação dentro do limite:
para todo
. Assim o quociente é sempre
(independente de
), então o limite quando
é simplesmente
Portanto a derivada existe para todo
e vale
em qualquer ponto
. Outra forma curta de dizer isso: a “regra do constante” afirma que a derivada de uma constante é zero.
Passo 5
Intuição geométrica e exemplos extras para fixar: o gráfico de
é uma linha horizontal em altura
; a inclinação dessa reta é
. Exemplos análogos:
,
,
. Isso é uma regra básica que costuma cair em provas: qualquer termo constante tem derivada zero.
Resposta
Verdadeira