Questão 2 [ \mathbf{2 , 5} pontos] Considere os pontos A=(4,-2), B=(0,0) e o círculo S=\left\{P \in \mathbb{R}^{2}\right. : \left.\langle\overrightarrow{B P}, \overrightarrow{B A}\rangle=d(P, B)^{2}\right\}. Use esses dados para responder as seguintes questões:
(a) [1,5 ponto] Encontre a equação canônica do círculo, o centro e o raio.
(b) [ \mathbf{1 , 0} ponto] Encontre as coordenadas dos pontos de interseção do círculo com os eixos coordenados e faça o gráfico do círculo usando um sistema de eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado fornece os pontos e a definição do conjunto S. Vou listar claramente o que está dado e o que se pede, sem resolver nada ainda.
  • Pontos dados:
    • A=(4,-2).
    • B=(0,0).
  • Definição do conjunto S:
    • S=\left\{P\in\mathbb{R}^{2}:\langle\overrightarrow{BP},\overrightarrow{BA}\rangle=d(P,B)^{2}\right\}.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Encontrar a equação canônica do círculo, o centro e o raio.
    • (b) Encontrar as coordenadas dos pontos de interseção do círculo com os eixos coordenados e fazer o gráfico do círculo (ou seja, identificar o que desenhar: centro, raio e pontos importantes).

Passo 2

Interpretação dos vetores e escolha de coordenadas para P.
  • Seja um ponto genérico P=(x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Como B=(0,0), o vetor \overrightarrow{BP} é simplesmente o vetor posição de P, isto é \overrightarrow{BP}=(x,y).
  • O vetor \overrightarrow{BA} é o vetor de B até A, portanto \overrightarrow{BA}=A-B=A=(4,-2).
Vou agora escrever a condição da definição de S usando essas representações vetoriais.

Passo 3

Escrever a igualdade em coordenadas (produto interno e distância ao quadrado).
  • O produto interno entre \overrightarrow{BP}=(x,y) e \overrightarrow{BA}=(4,-2) é
\langle\overrightarrow{BP},\overrightarrow{BA}\rangle = 4x-2y.
  • A distância de P a B é \,d(P,B)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,, então o quadrado da distância é
d(P,B)^{2}=x^{2}+y^{2}.
  • A condição do círculo S fica então, para P=(x,y),
4x-2y = x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Colocar a equação na forma padrão de círculo (rearranjar termos).
  • Subtraindo 4x-2y dos dois lados, obtemos
x^{2}+y^{2}-4x+2y=0.
  • Esta é a forma geral (não completada) de uma equação quadrática que pode representar um círculo. Para achar centro e raio precisamos completar o quadrado em x e em y.

Passo 5

Completar o quadrado (explicar o método e aplicá-lo passo a passo).
Explicação rápida do método: para completar o quadrado em uma expressão do tipo x^{2}-4x, adiciona-se e subtrai-se o quadrado de metade do coeficiente de x. Aqui a metade de -4 é -2 e seu quadrado é 4. Fazemos o mesmo para y.
  • Agrupando termos por variável:
(x^{2}-4x) + (y^{2}+2y) = 0.
  • Completar o quadrado em x:
    • x^{2}-4x = (x^{2}-4x+4)-4 = (x-2)^{2}-4.
  • Completar o quadrado em y:
    • y^{2}+2y = (y^{2}+2y+1)-1 = (y+1)^{2}-1.
  • Substituindo essas expressões na equação:
\bigl((x-2)^{2}-4\bigr) + \bigl((y+1)^{2}-1\bigr) = 0.
  • Somando os constantes -4 e -1 e isolando os quadrados:
(x-2)^{2} + (y+1)^{2} -5 = 0.
  • Finalmente:
(x-2)^{2} + (y+1)^{2} = 5.

Passo 6

Ler o resultado e extrair centro e raio.
  • A equação na forma (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} representa um círculo de centro (h,k) e raio r.
  • Comparando com (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=5, temos:
    • Centro: (2,-1).
    • Raio: r=\sqrt{5}.
Pequeno comentário motivador: pronto — já temos a equação canônica, o centro e o raio; está ficando fácil!

Passo 7

Encontrar interseções com os eixos coordenados (resolver separadamente para y=0 e x=0).
  • Interseção com o eixo x (eixo das abscissas): impor y=0 na equação do círculo.
    • Substituindo y=0 em (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=5:
    (x-2)^{2}+(0+1)^{2}=5 \quad\Rightarrow\quad (x-2)^{2}+1=5.
(x-2)^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x-2=\pm 2.
x=4 \quad\text{ou}\quad x=0.
  • Portanto os pontos de interseção com o eixo x são (4,0) e (0,0).
  • Interseção com o eixo y (eixo das ordenadas): impor x=0.
    • Substituindo x=0:
    (0-2)^{2}+(y+1)^{2}=5 \quad\Rightarrow\quad 4+(y+1)^{2}=5.
(y+1)^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad y+1=\pm 1.
y=0 \quad\text{ou}\quad y=-2.
  • Portanto os pontos de interseção com o eixo y são (0,0) e (0,-2).
Observação: o ponto (0,0) aparece nas duas listas — o círculo passa pela origem B, como já era plausível pela definição.

Passo 8

Como fazer o gráfico do círculo (passo a passo prático para desenhar na prova ou no papel milimetrado).
  • Marcar os eixos x e y.
  • Marcar o centro do círculo em (2,-1).
  • A partir do centro, medir o raio r=\sqrt{5}\approx 2{,}236. Se for difícil medir precisamente, marque pontos conhecidos que já encontramos:
    • O círculo passa por (4,0), (0,0), (0,-2) e também por A=(4,-2) (vale a pena checar: substituindo A na equação dá (4-2)^{2}+(-2+1)^{2}=4+1=5, então A está na circunferência).
  • Desenhar a circunferência passando suavemente por esses pontos; o centro (2,-1) fica no “meio” desses pontos. Marcar pelo menos os pontos de interseção e o centro para garantir precisão no desenho.

Resposta

(a) Equação canônica: (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=5.
Centro: (2,-1).
Raio: \sqrt{5}.
(b) Interseções com os eixos:
(4,0)
(0,0)
(0,-2)

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