Questão 2 [ \mathbf{2 , 5} pontos] Considere os pontos A=(4,-2), B=(0,0) e o círculo S=\left\{P \in \mathbb{R}^{2}\right. : \left.\langle\overrightarrow{B P}, \overrightarrow{B A}\rangle=d(P, B)^{2}\right\}. Use esses dados para responder as seguintes questões:
(a) [1,5 ponto] Encontre a equação canônica do círculo, o centro e o raio.
(b) [ \mathbf{1 , 0} ponto] Encontre as coordenadas dos pontos de interseção do círculo com os eixos coordenados e faça o gráfico do círculo usando um sistema de eixos coordenados.
Passo 1
O enunciado fornece os pontos e a definição do conjunto S. Vou listar claramente o que está dado e o que se pede, sem resolver nada ainda.
(a) Encontrar a equação canônica do círculo, o centro e o raio.
(b) Encontrar as coordenadas dos pontos de interseção do círculo com os eixos coordenados e fazer o gráfico do círculo (ou seja, identificar o que desenhar: centro, raio e pontos importantes).
Passo 2
Interpretação dos vetores e escolha de coordenadas para P.
Seja um ponto genérico P=(x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
Como B=(0,0), o vetor \overrightarrow{BP} é simplesmente o vetor posição de P, isto é \overrightarrow{BP}=(x,y).
O vetor \overrightarrow{BA} é o vetor de B até A, portanto \overrightarrow{BA}=A-B=A=(4,-2).
Vou agora escrever a condição da definição de S usando essas representações vetoriais.
Passo 3
Escrever a igualdade em coordenadas (produto interno e distância ao quadrado).
O produto interno entre \overrightarrow{BP}=(x,y) e \overrightarrow{BA}=(4,-2) é
A distância de P a B é \,d(P,B)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,, então o quadrado da distância é
d(P,B)^{2}=x^{2}+y^{2}.
A condição do círculo S fica então, para P=(x,y),
4x-2y = x^{2}+y^{2}.
Passo 4
Colocar a equação na forma padrão de círculo (rearranjar termos).
Subtraindo 4x-2y dos dois lados, obtemos
x^{2}+y^{2}-4x+2y=0.
Esta é a forma geral (não completada) de uma equação quadrática que pode representar um círculo. Para achar centro e raio precisamos completar o quadrado em x e em y.
Passo 5
Completar o quadrado (explicar o método e aplicá-lo passo a passo).
Explicação rápida do método: para completar o quadrado em uma expressão do tipo x^{2}-4x, adiciona-se e subtrai-se o quadrado de metade do coeficiente de x. Aqui a metade de -4 é -2 e seu quadrado é 4. Fazemos o mesmo para y.
Portanto os pontos de interseção com o eixo y são (0,0) e (0,-2).
Observação: o ponto (0,0) aparece nas duas listas — o círculo passa pela origem B, como já era plausível pela definição.
Passo 8
Como fazer o gráfico do círculo (passo a passo prático para desenhar na prova ou no papel milimetrado).
Marcar os eixos x e y.
Marcar o centro do círculo em (2,-1).
A partir do centro, medir o raio r=\sqrt{5}\approx 2{,}236. Se for difícil medir precisamente, marque pontos conhecidos que já encontramos:
O círculo passa por (4,0), (0,0), (0,-2) e também por A=(4,-2) (vale a pena checar: substituindo A na equação dá (4-2)^{2}+(-2+1)^{2}=4+1=5, então A está na circunferência).
Desenhar a circunferência passando suavemente por esses pontos; o centro (2,-1) fica no “meio” desses pontos. Marcar pelo menos os pontos de interseção e o centro para garantir precisão no desenho.