Resolva a inequação.
(1-x)\left(x^{2}+2 x+2\right)<0

Passo 1

O enunciado dá a inequação (1-x)\left(x^{2}+2x+2\right)<0 e pede encontrar os valores de x (no conjunto dos números reais) que tornam essa desigualdade verdadeira.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão a comparar com zero é o produto de dois fatores: 1-x e x^{2}+2x+2.
  • A inequação é estrita (sinal <), portanto valores que tornem o produto igual a zero não pertencem à solução.
  • Não foi dito outro domínio, então considerar x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Entender o sinal de cada fator é a chave. Vou analisar primeiro o segundo fator x^{2}+2x+2, porque se ele for sempre positivo (ou sempre negativo) simplifica muito o problema.
Para estudar o sinal de um polinômio quadrático ax^{2}+bx+c usamos o discriminante
\Delta = b^{2}-4ac,
onde a, b e c são os coeficientes do polinômio. Aqui, para x^{2}+2x+2 temos:
a=1,\quad b=2,\quad c=2.
Calculando o discriminante:
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot2 = 4-8 = -4.
Como \Delta<0, o polinômio quadrático não tem raízes reais. Além disso, como a=1>0, a parábola abre para cima e, sem raízes reais, fica inteiramente acima do eixo x. Logo, conclui-se que
x^{2}+2x+2>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Observação alternativa (mais direta): pode-se reescrever o quadrático completando o quadrado:
x^{2}+2x+2 = (x+1)^{2}+1,
que é soma de um quadrado e 1, portanto sempre maior que zero para todo x. Isso confirma a conclusão anterior.

Passo 3

Como já sabemos que x^{2}+2x+2>0 para todo x, o sinal do produto (1-x)\left(x^{2}+2x+2\right) é exatamente o sinal do fator 1-x (multiplicar por um número positivo não altera o sinal).
Portanto a inequação
(1-x)\left(x^{2}+2x+2\right)<0
é equivalente a
1-x<0,
pois o outro fator é positivo e podemos dividir ambos os lados por ele sem mudar o sentido da desigualdade.

Passo 4

Resolver 1-x<0. Reorganizando,
1-x<0 \quad\Longleftrightarrow\quad -x< -1 \quad\Longleftrightarrow\quad x>1.
Também é importante checar que x=1 não serve: para x=1 o produto vale zero, mas a desigualdade é estrita <0, então x=1 não pertence à solução.

Resposta

(1,\infty)

Exercícios relacionados