Resolva a inequação.
Passo 1
O enunciado dá a inequação
e pede encontrar os valores de
(no conjunto dos números reais) que tornam essa desigualdade verdadeira.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão a comparar com zero é o produto de dois fatores:
e . - A inequação é estrita (sinal
), portanto valores que tornem o produto igual a zero não pertencem à solução. - Não foi dito outro domínio, então considerar
.
Passo 2
Entender o sinal de cada fator é a chave. Vou analisar primeiro o segundo fator
, porque se ele for sempre positivo (ou sempre negativo) simplifica muito o problema.
Para estudar o sinal de um polinômio quadrático
usamos o discriminante
onde
,
e
são os coeficientes do polinômio. Aqui, para
temos:
Calculando o discriminante:
Como
, o polinômio quadrático não tem raízes reais. Além disso, como
, a parábola abre para cima e, sem raízes reais, fica inteiramente acima do eixo
. Logo, conclui-se que
Observação alternativa (mais direta): pode-se reescrever o quadrático completando o quadrado:
que é soma de um quadrado e
, portanto sempre maior que zero para todo
. Isso confirma a conclusão anterior.
Passo 3
Como já sabemos que
para todo
, o sinal do produto
é exatamente o sinal do fator
(multiplicar por um número positivo não altera o sinal).
Portanto a inequação
é equivalente a
pois o outro fator é positivo e podemos dividir ambos os lados por ele sem mudar o sentido da desigualdade.
Passo 4
Resolver
. Reorganizando,
Também é importante checar que
não serve: para
o produto vale zero, mas a desigualdade é estrita
, então
não pertence à solução.