Resolva a inequação.
x\left(x^{2}+1\right) \geqslant 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação \,x\left(x^{2}+1\right)\geqslant 0.
Informações dadas que são relevantes:
  • A expressão é um produto de dois fatores: \,x e \,x^{2}+1.
  • Quer-se o conjunto de todos os números reais \,x que tornam esse produto maior ou igual a zero (positivo ou zero).

Passo 2

Primeiro vamos identificar os fatores e os pontos onde cada fator é zero ou muda de sinal. Escrevemos a expressão em fatores:
x\left(x^{2}+1\right).
Os fatores são \,x e \,x^{2}+1. Os pontos críticos são os zeros desses fatores (se existirem).

Passo 3

Analisando o fator \,x^{2}+1:
  • Para qualquer real \,x, vale \,x^{2}\geqslant 0.
  • Portanto \,x^{2}+1\geqslant 1, isto é, \,x^{2}+1>0 para todo \,x\in\mathbb{R}.
    Isso significa que o fator \,x^{2}+1 é sempre positivo e nunca anula o produto.

Passo 4

Como \,x^{2}+1>0 para todo \,x, a inequação \,x\left(x^{2}+1\right)\geqslant 0 tem o mesmo sinal que o próprio fator \,x. Formalmente, podemos dividir ambos os lados da desigualdade por \,x^{2}+1 sem trocar o sentido da desigualdade, porque estamos dividindo por um número estritamente positivo:
x \geqslant 0.

Passo 5

Vamos interpretar e conferir com um raciocínio de análise de sinais (tabela mental):
  • Se \,x<0, então \,x é negativo e \,x^{2}+1 é positivo, logo o produto é negativo: não satisfaz a inequação.
  • Se \,x=0, então o produto é \,0\cdot(0^{2}+1)=0: satisfaz a inequação (igualdade).
  • Se \,x>0, então \,x é positivo e \,x^{2}+1 é positivo, logo o produto é positivo: satisfaz a inequação.
Checagem com valores de exemplo: para \,x=-1 obtém-se (-1)\bigl((-1)^{2}+1\bigr)=(-1)(2)=-2<0 (não vale); para \,x=2 obtém-se 2(4+1)=10>0 (vale).

Passo 6

Conclusão: a solução da inequação é o conjunto de todos os \,x não negativos, ou seja \,x\geqslant 0.

Resposta

\,x\geqslant 0

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