Resolva a inequação.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
.
Informações dadas que são relevantes:
Informações dadas que são relevantes:
- A expressão é um produto de dois fatores:
e . - Quer-se o conjunto de todos os números reais
que tornam esse produto maior ou igual a zero (positivo ou zero).
Passo 2
Primeiro vamos identificar os fatores e os pontos onde cada fator é zero ou muda de sinal. Escrevemos a expressão em fatores:
Os fatores são
e
. Os pontos críticos são os zeros desses fatores (se existirem).
Passo 3
Analisando o fator
:
- Para qualquer real
, vale . - Portanto
, isto é, para todo .
Isso significa que o fatoré sempre positivo e nunca anula o produto.
Passo 4
Como
para todo
, a inequação
tem o mesmo sinal que o próprio fator
. Formalmente, podemos dividir ambos os lados da desigualdade por
sem trocar o sentido da desigualdade, porque estamos dividindo por um número estritamente positivo:
Passo 5
Vamos interpretar e conferir com um raciocínio de análise de sinais (tabela mental):
- Se
, então é negativo e é positivo, logo o produto é negativo: não satisfaz a inequação. - Se
, então o produto é : satisfaz a inequação (igualdade). - Se
, então é positivo e é positivo, logo o produto é positivo: satisfaz a inequação.
Checagem com valores de exemplo: para
obtém-se
(não vale); para
obtém-se
(vale).
Passo 6
Conclusão: a solução da inequação é o conjunto de todos os
não negativos, ou seja
.