Questão 2 (
pontos): A Legislação Brasileira de Alimentos define as geleias de frutas como “prod obtido pelo cozimento de frutas inteiras ou em pedaços, polpas ou sucos de frutas, com açúcar e água, concentrado até a consistência gelatinosa”.
Deseja-se produzir geleia de amoras pretas (blackberry) cultivadas em algumas regiões do Brasil. Esta amoras, possuem 15% em massa de sólidos e
de água. Para fabricação da geleia, misturam-se amora e açúcar na proporção mássica 4:1. A mistura é aquecida para evaporar a água até que o produto contenha um quarto de água em massa.
a)
Calcule quantos quilos de amoras pretas são necessários para fazer
de geleia e as demais variáveis desconhecidas.
b)
Em uma determinada remessa de açúcar, foi observado que o açúcar estava com
de umidade. Sabendo que a quantidade de amoras e açúcar se mantem, determine quantos quilos de água estão sendo evaporados e a quantidade de geleia, mantendo o produto com
de água.
Deseja-se produzir geleia de amoras pretas (blackberry) cultivadas em algumas regiões do Brasil. Esta amoras, possuem 15% em massa de sólidos e
a)
b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
Dados fornecidos:
- Amoras: contém
em massa de sólidos e em massa de água. - Mistura de amora e açúcar na proporção mássica
(ou seja, para cada kg de amora usa-se kg de açúcar). - A mistura é aquecida e evapora-se água até que o produto final tenha um quarto de água em massa (ou seja, fração mássica de água final
). - Em (a) o produto final desejado tem massa
. - Em (b) a quantidade de amora e de açúcar permanece a mesma do item (a), mas agora o açúcar tem
de umidade (isto é, o açúcar contém água por massa).
O enunciado pede:
(a) Calcular quantos quilos de amoras são necessários para fazer de geleia e as demais variáveis desconhecidas relevantes.
(b) Com a mesma quantidade de amoras e açúcar do item (a), e com o açúcar tendo de umidade, determinar quantos quilos de água são evaporados e qual a massa final da geleia, mantendo a fração de água final igual a
.
(a) Calcular quantos quilos de amoras são necessários para fazer
(b) Com a mesma quantidade de amoras e açúcar do item (a), e com o açúcar tendo
Passo 2
Defino as incógnitas e escrevo as leis físicas/matemáticas que vou usar (explicação didática e geral).
-
Variáveis:
-
= massa de amoras colocada (kg). -
= massa de açúcar colocada (kg). -
= massa total inicial da mistura (kg). -
= massa total de água inicialmente presente (kg). -
= massa de água na geleia final (kg). -
= massa da geleia final (kg). -
= massa de água evaporada (kg).
-
-
Regras físicas / contabilidade de massa (explicação didática):
- Sólidos não evaporam (assumimos que durante o aquecimento só sai água). Logo a massa total de sólidos antes = massa total de sólidos depois.
- A massa de água inicial menos a massa de água final é a água evaporada:
- Frações:
- Se as amoras têm
sólidos, então massa de sólidos nas amoras e massa de água nas amoras . - Se o açúcar for (no caso a) assumido seco, ele é todo sólido; no caso (b) o açúcar tem
água e sólidos.
- Se as amoras têm
- Proporção mássica
significa
Vou aplicar estas idéias para resolver cada item.
Passo 3
Dados específicos do item (a):
-
. - Fração de água final
- Assumo que o açúcar é seco (nenhuma umidade) em (a), pois o item (b) fala explicitamente sobre umidade do açúcar.
Cálculos passo a passo:
- Massa de água final e sólidos finais:
Sólidos finais
massa final
água final:
- Conservação de sólidos (sólidos iniciais =
das amoras + do açúcar) e relação :
Substituindo
:
- Some coeficientes:
Logo
- Calcular
:
- Massa inicial de água (açúcar seco, então só a água das amoras):
- Massa inicial total:
- Água evaporada:
Pequena interpretação: para obter
de geleia com
de água final, foi preciso começar com
de amoras e
de açúcar; muita água sai por evaporação (cerca de
).
Passo 4
Agora o açúcar na remessa tem
de umidade. Mantemos as massas
e
calculadas no item (a):
Cálculos passo a passo:
- Componentes do açúcar com umidade
:
- Água no açúcar:
. - Sólidos no açúcar:
.
Valores numéricos:
- Sólidos totais iniciais (amoras + açúcar):
Calcule:
então
- Com sólidos finais iguais aos sólidos iniciais e sabendo que a fração de sólidos final é
(pois água final é ), a massa final é:
Calcule:
- Água final:
- Água inicial total (agora inclui a umidade do açúcar):
- Água evaporada:
Interpretação curta: como o açúcar já traz um pouco de água, a massa final de geleia diminui ligeiramente (de
para
) e a água evaporada aumenta um pouco (de
para
).
Passo 5
- Resumo do método que sempre funciona: escreva conservação de sólidos (porque só a água evapora) e use relação da proporção mássica para ligar
e . A partir dos sólidos finais (obtidos usando a fração de água final) resolva para . Depois calcule água inicial, água final e evaporação. - Se precisar fazer rápido na prova, organize em três etapas: (i) sólidos finais = massa final
fração de sólidos; (ii) equacione sólidos iniciais (componentes) = sólidos finais; (iii) calcule água inicial e subtraia água final.
Resposta
(a)
(b) Água evaporada
massa da geleia