Questão 2 ( \mathbf{2 , 5} pontos): A Legislação Brasileira de Alimentos define as geleias de frutas como “prod obtido pelo cozimento de frutas inteiras ou em pedaços, polpas ou sucos de frutas, com açúcar e água, concentrado até a consistência gelatinosa”.
Deseja-se produzir geleia de amoras pretas (blackberry) cultivadas em algumas regiões do Brasil. Esta amoras, possuem 15% em massa de sólidos e 85 \% de água. Para fabricação da geleia, misturam-se amora e açúcar na proporção mássica 4:1. A mistura é aquecida para evaporar a água até que o produto contenha um quarto de água em massa.
a) (1,5) Calcule quantos quilos de amoras pretas são necessários para fazer 100,0 \mathrm{~kg} de geleia e as demais variáveis desconhecidas.
b) (1,0) Em uma determinada remessa de açúcar, foi observado que o açúcar estava com 1,2 \% de umidade. Sabendo que a quantidade de amoras e açúcar se mantem, determine quantos quilos de água estão sendo evaporados e a quantidade de geleia, mantendo o produto com 1 / 4 de água.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Amoras: contém 15\% em massa de sólidos e 85\% em massa de água.
  • Mistura de amora e açúcar na proporção mássica 4:1 (ou seja, para cada 4 kg de amora usa-se 1 kg de açúcar).
  • A mistura é aquecida e evapora-se água até que o produto final tenha um quarto de água em massa (ou seja, fração mássica de água final =1/4).
  • Em (a) o produto final desejado tem massa 100{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Em (b) a quantidade de amora e de açúcar permanece a mesma do item (a), mas agora o açúcar tem 1{,}2\% de umidade (isto é, o açúcar contém 1{,}2\% água por massa).
O enunciado pede:
(a) Calcular quantos quilos de amoras são necessários para fazer 100{,}0\\ \mathrm{kg} de geleia e as demais variáveis desconhecidas relevantes.
(b) Com a mesma quantidade de amoras e açúcar do item (a), e com o açúcar tendo 1{,}2\% de umidade, determinar quantos quilos de água são evaporados e qual a massa final da geleia, mantendo a fração de água final igual a 1/4.

Passo 2

Defino as incógnitas e escrevo as leis físicas/matemáticas que vou usar (explicação didática e geral).
  • Variáveis:
    • B = massa de amoras colocada (kg).
    • S = massa de açúcar colocada (kg).
    • M_{\text{in}} = massa total inicial da mistura =B+S (kg).
    • W_{\text{in}} = massa total de água inicialmente presente (kg).
    • W_{\text{fin}} = massa de água na geleia final (kg).
    • M_{\text{fin}} = massa da geleia final (kg).
    • E = massa de água evaporada (kg).
  • Regras físicas / contabilidade de massa (explicação didática):
    1. Sólidos não evaporam (assumimos que durante o aquecimento só sai água). Logo a massa total de sólidos antes = massa total de sólidos depois.
    2. A massa de água inicial menos a massa de água final é a água evaporada: E = W_{\text{in}} - W_{\text{fin}}.
    3. Frações:
      • Se as amoras têm 15\% sólidos, então massa de sólidos nas amoras =0{,}15B e massa de água nas amoras =0{,}85B.
      • Se o açúcar for (no caso a) assumido seco, ele é todo sólido; no caso (b) o açúcar tem 1{,}2\% água e 98{,}8\% sólidos.
    4. Proporção mássica 4:1 significa S=\frac{1}{4}B.
Vou aplicar estas idéias para resolver cada item.

Passo 3

Dados específicos do item (a):
  • M_{\text{fin}}=100{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Fração de água final =1/4\Rightarrow W_{\text{fin}}=\dfrac{1}{4}M_{\text{fin}}.
  • Assumo que o açúcar é seco (nenhuma umidade) em (a), pois o item (b) fala explicitamente sobre umidade do açúcar.
Cálculos passo a passo:
  1. Massa de água final e sólidos finais:
W_{\text{fin}}=\frac{1}{4}\cdot100{,}0=25{,}0\\ \mathrm{kg}.
Sólidos finais = massa final - água final:
\text{Sólidos}_{\text{fin}}=100{,}0-25{,}0=75{,}0\\ \mathrm{kg}.ó
  1. Conservação de sólidos (sólidos iniciais = 0{,}15B das amoras + S do açúcar) e relação S=B/4:
0{,}15B + S = 75{,}0,\qquad S=\frac{1}{4}B.
Substituindo S:
0{,}15B + \frac{1}{4}B = 75{,}0.
  1. Some coeficientes:
0{,}15B + 0{,}25B = 0{,}40B.
Logo
0{,}40B = 75{,}0 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{75{,}0}{0{,}40}=187{,}5\\ \mathrm{kg}.
  1. Calcular S:
S=\frac{1}{4}B=\frac{1}{4}\cdot187{,}5=46{,}875\\ \mathrm{kg}.
  1. Massa inicial de água (açúcar seco, então só a água das amoras):
W_{\text{in}}=0{,}85B=0{,}85\cdot187{,}5=159{,}375\\ \mathrm{kg}.
  1. Massa inicial total:
M_{\text{in}}=B+S=187{,}5+46{,}875=234{,}375\\ \mathrm{kg}.
  1. Água evaporada:
E = W_{\text{in}}-W_{\text{fin}}=159{,}375-25{,}0=134{,}375\\ \mathrm{kg}.
Pequena interpretação: para obter 100{,}0\\ \mathrm{kg} de geleia com 25{,}0\\ \mathrm{kg} de água final, foi preciso começar com 187{,}5\\ \mathrm{kg} de amoras e 46{,}875\\ \mathrm{kg} de açúcar; muita água sai por evaporação (cerca de 134{,}375\\ \mathrm{kg}).

Passo 4

Agora o açúcar na remessa tem 1{,}2\% de umidade. Mantemos as massas B e S calculadas no item (a):
B=187{,}5\\ \mathrm{kg},\qquad S=46{,}875\\ \mathrm{kg}.
Cálculos passo a passo:
  1. Componentes do açúcar com umidade 1{,}2\%:
  • Água no açúcar: 0{,}012S.
  • Sólidos no açúcar: 0{,}988S.
Valores numéricos:
\text{Sólidos do açúcar}=0{,}988\cdot46{,}875=46{,}3125\\ \mathrm{kg},óçú
\text{Água do açúcar}=0{,}012\cdot46{,}875=0{,}5625\\ \mathrm{kg}.Áçú
  1. Sólidos totais iniciais (amoras + açúcar):
\text{Sólidos}_{\text{in}}=0{,}15B + 0{,}988S = 0{,}15\cdot187{,}5 + 46{,}3125.ó
Calcule:
0{,}15\cdot187{,}5=28{,}125,
então
\text{Sólidos}_{\text{in}}=28{,}125+46{,}3125=74{,}4375\\ \mathrm{kg}.ó
  1. Com sólidos finais iguais aos sólidos iniciais e sabendo que a fração de sólidos final é 3/4 (pois água final é 1/4), a massa final M_{\text{fin}} é:
M_{\text{fin}}=\frac{\text{Sólidos}_{\text{in}}}{3/4}=\frac{4}{3}\cdot74{,}4375.ó
Calcule:
\frac{4}{3}\cdot74{,}4375=\frac{297{,}75}{3}=99{,}25\\ \mathrm{kg}.
  1. Água final:
W_{\text{fin}}=\frac{1}{4}M_{\text{fin}}=\frac{1}{4}\cdot99{,}25=24{,}8125\\ \mathrm{kg}.
  1. Água inicial total (agora inclui a umidade do açúcar):
W_{\text{in}}=0{,}85B + 0{,}012S =159{,}375 + 0{,}5625 =159{,}9375\\ \mathrm{kg}.
  1. Água evaporada:
E = W_{\text{in}}-W_{\text{fin}}=159{,}9375-24{,}8125=135{,}125\\ \mathrm{kg}.
Interpretação curta: como o açúcar já traz um pouco de água, a massa final de geleia diminui ligeiramente (de 100{,}0 para 99{,}25\\ \mathrm{kg}) e a água evaporada aumenta um pouco (de 134{,}375 para 135{,}125\\ \mathrm{kg}).

Passo 5

  • Resumo do método que sempre funciona: escreva conservação de sólidos (porque só a água evapora) e use relação da proporção mássica para ligar B e S. A partir dos sólidos finais (obtidos usando a fração de água final) resolva para B. Depois calcule água inicial, água final e evaporação.
  • Se precisar fazer rápido na prova, organize em três etapas: (i) sólidos finais = massa final \times fração de sólidos; (ii) equacione sólidos iniciais (componentes) = sólidos finais; (iii) calcule água inicial e subtraia água final.

Resposta

(a) B=187{,}5\\ \mathrm{kg};\\ S=46{,}875\\ \mathrm{kg};\\ M_{\text{in}}=234{,}375\\ \mathrm{kg};\\ W_{\text{in}}=159{,}375\\ \mathrm{kg};\\ E=134{,}375\\ \mathrm{kg}.
(b) Água evaporada E=135{,}125\\ \mathrm{kg}; massa da geleia M_{\text{fin}}=99{,}25\\ \mathrm{kg}.

Exercícios relacionados