¿uestão 1(1,0 pontos): A densidade de um fluido é dada pela equação empírica:
\rho=70,5 \exp \left(8,27 \times 10^{-7} P\right)
Em que \rho é a densidade \left(\mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3}\right) e P é a pressão \left(\mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}\right).
a) (0,5) Quais são as unidades de 70,5 e 8,27 \times 10^{-7} ?
b) (0,5) Calcule a densidade desse fluido, em \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}, para uma pressão de 9,00 \times 10^{6} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a relação experimental
\rho = 70,5\exp\!\left(8,27\times10^{-7}\,P\right),
com as informações:
  • \rho é a densidade em \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3.
  • P é a pressão em \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2.
    As perguntas são:
    (a) Quais são as unidades da constante 70,5 e da constante 8,27\times10^{-7}?
    (b) Calcular a densidade em \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3 quando P=9,00\times10^{6}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2.

Passo 2

Entendendo unidades na exponencial (conceito importante, passo-a-passo):
  • A função \exp(\cdot) exige que o argumento seja adimensional (sem unidades). Ou seja, o produto (8,27\times10^{-7})\times P deve ser adimensional.
  • Logo, a constante 8,27\times10^{-7} precisa ter as unidades inversas das unidades de P. Como P está em \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2, então
\text{unidade de }8,27\times10^{-7} = \left(\mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2\right)^{-1}.
  • A exponencial \exp(\cdot) é adimensional, portanto o fator multiplicativo fora da exponencial, 70,5, deve ter as mesmas unidades de \rho. Assim
\text{unidade de }70,5 = \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3.

Passo 3

Converter a pressão dada para as unidades usadas na fórmula (passo essencial):
  • Sabendo a relação padrão
1\\ \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2 = 6894,757\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2,
para converter P=9,00\times10^{6}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2 para \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2 fazemos
P_{\mathrm{(lbf/in^2)}}=\dfrac{9,00\times10^{6}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2}{6894,757\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^2/\left(\mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2\right)}
P_{\mathrm{(lbf/in^2)}}=\dfrac{9,00\times10^{6}}{6894,757}\approx1305,340.
(Usei a divisão direta; o resultado está em \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2.)

Passo 4

Calcular o argumento da exponencial e \rho na unidade original \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3:
  • Primeiro o produto no expoente:
8,27\times10^{-7}\times P_{\mathrm{(lbf/in^2)}} = 8,27\times10^{-7}\times1305,340\approx0,00107952.
  • Agora a densidade:
\rho = 70,5\exp(0,00107952)\approx70,5\times1,0010791\approx70,5761\\ \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3.

Passo 5

Converter \rho de \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3 para \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3 (passo-a-passo com fatores de conversão):
  • Relações úteis:
    • 1\\ \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3 = 16,018463\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
    • 1\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 = 0,001\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
  • Converter para \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3:
\rho_{\mathrm{(kg/m^3)}} = 70,5761\times16,018463 \approx1130,521\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Converter para \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3:
\rho_{\mathrm{(g/cm^3)}} = 1130,521\times0,001 = 1,130521\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.

Passo 6

Arredondamento e interpretação final:
  • Mantendo precisão razoável (os dados de pressão têm três algarismos significativos), podemos dar a resposta como
\rho \approx 1,131\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3.
  • Recapitulando: as unidades das constantes e a densidade final foram obtidas respeitando que o argumento da exponencial é adimensional e aplicando conversões de unidade padrão.

Resposta

(a) 70,5:\\ \mathrm{lbm}/\mathrm{ft}^3
8,27\times10^{-7}:\\ (\mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2)^{-1}
(b) \rho\approx1,131\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3

Exercícios relacionados