Questão 1 (
pontos) - A posição de uma partícula material que se desloca em linha reta é definida pela relação
m et em segundos e
. Determinar a) o instante em que a velocidade será nula, b) a distância percorrida pela partícula durante este intervalo, c) a aceleração da partícula neste instante.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pede três coisas. Vou listar tudo com calma para não nos perder.
- Função posição (dada):
, em metros, com (tempo em segundos). - Perguntas:
a) Determinar o instante em que a velocidade será nula.
b) Determinar a distância percorrida pela partícula durante este intervalo (ou seja, do instante inicial até o instante encontrado em (a)).
c) Determinar a aceleração da partícula neste instante.
Passo 2
Primeiro conceito importante: velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Explico de forma simples e prática.
- Se a posição é
, a velocidade instantânea é . - Para polinômios usamos a regra do poder (power rule): a derivada de
é . Exemplo pequeno: a derivada de é .
Agora vamos aplicar isso ao nosso
. Como
, derivando termo a termo obtemos a velocidade:
Passo 3
A pergunta (a) pede o instante em que a velocidade será nula. Isso significa resolver a equação
.
Temos a equação
Dividindo tudo por
(para simplificar):
Agora resolvemos a quadrática. Podemos fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
e soma
. Esses números são
e
. Assim
Logo as raízes são
e
. Como o problema pede
, descartamos
. Portanto o instante procurado é
Passo 4
Agora precisamos da distância percorrida entre
e
. Aqui é importante entender diferença entre deslocamento (variação algébrica de posição) e distância percorrida (comprimento do caminho, sempre não-negativo).
- Deslocamento entre
e é . Pode ser negativo. - Distância percorrida é a integral do valor absoluto da velocidade (integral de
), ou, se a velocidade não muda de sinal no intervalo, simplesmente o valor absoluto do deslocamento.
Então precisamos verificar se a velocidade muda de sinal em
. Já sabemos que
e que suas raízes reais são
e
. Um polinômio quadrático com coeficiente líder positivo é negativo entre as raízes e positivo fora. Assim, para
entre
e
temos
. Em particular, para todo
em
a velocidade é negativa. Conclusão: no intervalo
a velocidade não muda de sinal (é negativa até chegar a zero em
). Portanto a distância percorrida de
a
é simplesmente
, que também pode ser escrita como
já que
.
Passo 5
Vamos calcular
e
passo a passo (lembre: isto é dado por
).
- Para
:
- Para
:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Agrupando:
e
. Então
Passo 6
Agora a distância percorrida de
até
é o valor absoluto do deslocamento:
Explicação em palavras: a partícula foi de
para
, ou seja percorreu
no sentido negativo.
Passo 7
Finalmente a aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição:
Derivando
termo a termo (regra do poder):
A pergunta (c) pede a aceleração no instante onde
, ou seja em
. Avaliando:
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)