Questão 1 ( \mathbf{2 , 0} pontos) - A posição de uma partícula material que se desloca em linha reta é definida pela relação \mathrm{x}=\left(\mathrm{t}^{3}-6 \mathrm{t}^{2}-15 \mathrm{t}+40\right) m et em segundos e \geq 0. Determinar a) o instante em que a velocidade será nula, b) a distância percorrida pela partícula durante este intervalo, c) a aceleração da partícula neste instante.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pede três coisas. Vou listar tudo com calma para não nos perder.
  • Função posição (dada): x(t)=t^{3}-6t^{2}-15t+40, em metros, com t\geq 0 (tempo em segundos).
  • Perguntas:
    a) Determinar o instante em que a velocidade será nula.
    b) Determinar a distância percorrida pela partícula durante este intervalo (ou seja, do instante inicial até o instante encontrado em (a)).
    c) Determinar a aceleração da partícula neste instante.

Passo 2

Primeiro conceito importante: velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Explico de forma simples e prática.
  • Se a posição é x(t), a velocidade instantânea é v(t)=\dfrac{dx}{dt}.
  • Para polinômios usamos a regra do poder (power rule): a derivada de t^{n} é n\,t^{n-1}. Exemplo pequeno: a derivada de t^{3} é 3t^{2}.
Agora vamos aplicar isso ao nosso x(t). Como x(t)=t^{3}-6t^{2}-15t+40, derivando termo a termo obtemos a velocidade:
v(t)=\dfrac{dx}{dt}=3t^{2}-12t-15.

Passo 3

A pergunta (a) pede o instante em que a velocidade será nula. Isso significa resolver a equação v(t)=0.
Temos a equação
3t^{2}-12t-15=0.
Dividindo tudo por 3 (para simplificar):
t^{2}-4t-5=0.
Agora resolvemos a quadrática. Podemos fatorar: procuramos dois números cujo produto seja -5 e soma -4. Esses números são -5 e 1. Assim
t^{2}-4t-5=(t-5)(t+1).
Logo as raízes são t=5 e t=-1. Como o problema pede t\geq 0, descartamos t=-1. Portanto o instante procurado é
t=5\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Agora precisamos da distância percorrida entre t=0 e t=5. Aqui é importante entender diferença entre deslocamento (variação algébrica de posição) e distância percorrida (comprimento do caminho, sempre não-negativo).
  • Deslocamento entre t=a e t=b é \Delta x = x(b)-x(a). Pode ser negativo.
  • Distância percorrida é a integral do valor absoluto da velocidade (integral de |v(t)|), ou, se a velocidade não muda de sinal no intervalo, simplesmente o valor absoluto do deslocamento.
Então precisamos verificar se a velocidade muda de sinal em [0,5]. Já sabemos que v(t)=3t^{2}-12t-15 e que suas raízes reais são t=-1 e t=5. Um polinômio quadrático com coeficiente líder positivo é negativo entre as raízes e positivo fora. Assim, para t entre -1 e 5 temos v(t)<0. Em particular, para todo t em [0,5) a velocidade é negativa. Conclusão: no intervalo [0,5] a velocidade não muda de sinal (é negativa até chegar a zero em t=5). Portanto a distância percorrida de 0 a 5 é simplesmente |x(5)-x(0)|, que também pode ser escrita como x(0)-x(5) já que x(5)<x(0).

Passo 5

Vamos calcular x(0) e x(5) passo a passo (lembre: isto é dado por x(t)=t^{3}-6t^{2}-15t+40).
  • Para t=0:
x(0)=0^{3}-6\cdot 0^{2}-15\cdot 0+40=40\\ \mathrm{m}.
  • Para t=5:
    Calculemos termo a termo:
5^{3}=125,\quad -6\cdot5^{2}=-6\cdot25=-150,\quad -15\cdot5=-75.
Somando:
x(5)=125-150-75+40.
Agrupando: 125+40=165 e -150-75=-225. Então
x(5)=165-225=-60\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora a distância percorrida de t=0 até t=5 é o valor absoluto do deslocamento:
\text{distância}=|x(5)-x(0)|=|-60-40|=|-100|=100\\ \mathrm{m}.â
Explicação em palavras: a partícula foi de 40\\ \mathrm{m} para -60\\ \mathrm{m}, ou seja percorreu 100\\ \mathrm{m} no sentido negativo.

Passo 7

Finalmente a aceleração é a derivada da velocidade, ou a segunda derivada da posição:
a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Derivando v(t)=3t^{2}-12t-15 termo a termo (regra do poder):
a(t)=6t-12.
A pergunta (c) pede a aceleração no instante onde v=0, ou seja em t=5. Avaliando:
a(5)=6\cdot 5-12=30-12=18\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

a) t=5\\ \mathrm{s}
b) 100\\ \mathrm{m}
c) a(5)=18\\ \mathrm{m/s^{2}}

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