2- (Pts. 2,5).Para a viga da questão anterior determine os diagramas de esforço cortante e de momento fletor. Assumindo a seção da viga como sendo retangular de ( 30 \times 30 cm). Determine com base nos conhecimentos adquiridos em sala de aula, quais são as tensões normais e as tensões cisalhantes?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Determinar os diagramas de esforço cortante e de momento fletor para “a viga da questão anterior”.
  2. Assumindo seção retangular de 30\times30 cm, determinar as tensões normais (devida ao momento fletor) e as tensões cisalhantes (devidas ao esforço cortante).
Informações explícitas no enunciado que recebi:
  • Seção da viga: retangular de 30\times30 cm (ou seja b=0,30\\ \mathrm{m} e h=0,30\\ \mathrm{m}).
  • Pede-se os diagramas V(x) e M(x) e as tensões correspondentes.
Informação que está faltando e que é essencial para traçar os diagramas:
  • Geometria completa da viga (comprimento total L).
  • Condições de apoio (simplesmente apoiada, engastada, pórtico, etc.).
  • Tipo, posição e intensidade dos carregamentos (força pontual P, carga distribuída w(x), momentos aplicados, etc.).
Sem essas informações (que aparecem na “questão anterior” e não foram incluídas aqui) não é possível calcular numericamente os diagramas de esforço cortante e momento fletor nem obter valores numéricos de V_{\max} e M_{\max}. Vou, portanto, explicar passo a passo como você deve proceder na prova para obter os diagramas e, em seguida, mostrar como calcular as tensões na seção retangular dada em função de M(x) e V(x). Assim, quando você aplicar essas instruções à viga completa (com cargas e apoios da questão anterior) você terá tudo pronto.

Passo 2

Como obter os diagramas V(x) e M(x) — passos práticos que você fará na prova:
  1. Identifique apoios e carregamentos da viga (pontos e trechos com cargas). Anote posições e intensidades.
  2. Calcule as reações de apoio usando as equações da estática: \sum F_y=0,\qquad \sum M=0ou, se houver mais incógnitas, use equações adicionais (e.g. compatibilidades em viga redundante).
  3. Escolha um sistema de coordenadas x ao longo da viga (tipicamente da esquerda para a direita) e divida a viga em trechos onde as expressões de carga são contínuas.
  4. Em cada trecho, faça um corte em posição genérica x e escreva as equações de equilíbrio do trecho (equilíbrio vertical e momento) para determinar V(x) e M(x).
  5. Lembrete útil de cálculo: \frac{dV}{dx}=-w(x),\qquad \frac{dM}{dx}=V(x),onde w(x) é a carga distribuída positiva para baixo (atenção ao sinal).
  6. Pontos a observar ao desenhar os diagramas:
    • Uma força pontual P provoca um salto em V(x) de magnitude P (sinal conforme convenção) e uma mudança de declive em M(x).
    • Uma distribuição w provoca variação linear em V(x) e curvatura (parábola) em M(x).
    • Reações de apoio entram como forças pontuais nos cálculos (provocam saltos em V).

Passo 3

Como calcular reações e construir os diagramas passo a passo (exemplo do procedimento, sem números específicos):
  1. Escreva \sum F_y = 0 para encontrar relação entre reações e cargas.
  2. Escreva \sum M em torno de um ponto conveniente para eliminar incógnitas e resolver reações.
  3. Após obter reações numéricas, faça cortes sucessivos:
    • Para 0<x<x_1: balanceie forças verticais e momentos para obter V(x) e M(x).
    • Para x_1<x<x_2: repita incluindo cargas entre 0 e x.
  4. Plote V(x) e depois integre (ou use \frac{dM}{dx}=V) para obter M(x); marque pontos onde V=0 (esses são candidatos a máximos/mínimos de M).
Observação de sinal e convenção: adote uma convenção (por exemplo, esforços cortantes positivos para cima e momentos positivos no sentido que produz tração na fibra inferior) e mantenha consistente. Sempre indique no desenho qual é a convenção.

Passo 4

Se não lembrares a “comportamento” típico:
  • Força concentrada P em x=a: V(x) tem salto de -P (se P atuando para baixo), M(x) tem mudança de inclinação.
  • Carga uniforme w (constante): V(x) é função linear decaindo com declive -w; M(x) é função quadrática (parábola).
    Esses conhecimentos ajudam a esboçar rapidamente os diagramas mesmo antes de calcular ponto a ponto.

Passo 5

Agora, dado que a seção é retangular b=0,30\\ \mathrm{m}, h=0,30\\ \mathrm{m}, vamos preparar tudo para calcular tensões quando você tiver M(x) e V(x).
Primeiro, momento de inércia da secção em relação ao eixo neutro (eixo horizontal, passando pelo centro):
I=\frac{b\,h^{3}}{12}.
Substituindo b=0,30\\ \mathrm{m} e h=0,30\\ \mathrm{m}:
I=\frac{0,30\cdot(0,30)^{3}}{12}=\frac{0,30\cdot0,027}{12}=6,75\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{4}.
O semidistância até fibra extrema é
c=\frac{h}{2}=0,15\\ \mathrm{m}.
O módulo de resistência (section modulus) é
S=\frac{I}{c}= \frac{6,75\times10^{-4}}{0,15}=4,50\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}.
A área da secção é
A=b\cdot h=0,30\cdot0,30=0,09\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Tensão normal (tensão de flexão):
A fórmula básica (hipótese de Bernoulli-Navier, seções planas permanecem planas) é
\sigma_{x}(y)=\frac{M(x)\,y}{I},
onde:
  • \sigma_{x}(y) é a tensão normal na fibra localizada a uma distância \,y do eixo neutro (positivo para cima ou conforme convenção),
  • M(x) é o momento fletor interno no corte na posição x,
  • I é o momento de inércia da secção.
A tensão máxima de tração/compressão nas fibras extremas (onde |y|=c) é
\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}\,c}{I}=\frac{M_{\max}}{S}.
Substituindo S=4,50\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^{3}:
\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}}{4,50\times10^{-3}}\\ \text{(em Pa, se \(M_{\max}\) em N·m).}
Observações práticas para a prova: encontre primeiro M_{\max} no diagrama M(x) (normalmente em pontos onde V=0 ou nas reações/apoios), depois aplique essa fórmula. Atenção às unidades: se usar M em kN·m converta para N·m para obter Pa.

Passo 7

Tensão cisalhante (distribuição através da altura da secção):
A fórmula geral é
\tau_{xy}(y)=\frac{V(x)\,Q(y)}{I\,b(y)},
onde:
  • V(x) é o esforço cortante interno no corte,
  • Q(y) é o primeiro momento da área acima (ou abaixo) da linha onde se deseja \tau,
  • b(y) é a largura da secção na posição y (para retângulo b(y)=b constante),
  • I é o mesmo momento de inércia.
Para a secção retangular centrada, tomando y medido a partir do eixo neutro e c=h/2, o primeiro momento para a faixa entre y e c é
Q(y)=b\int_{y}^{c} z\,dz = \frac{b}{2}\bigl(c^{2}-y^{2}\bigr).
Logo
\tau_{xy}(y)=\frac{V(x)\,b\frac{c^{2}-y^{2}}{2}}{I\,b}=\frac{V(x)\,\bigl(c^{2}-y^{2}\bigr)}{2I}.
A tensão cisalhante máxima ocorre em y=0 (eixo neutro), portanto
\tau_{\max}=\tau_{xy}(0)=\frac{V(x)\,c^{2}}{2I}.
Usando I=(2/3) b c^{3} para retângulo ou simplificando, obtemos a fórmula conhecida
\tau_{\max}=\frac{3}{2}\,\frac{V_{\max}}{A}.
Substituindo A=0,09\\ \mathrm{m}^{2}:
\tau_{\max}=1{,}5\cdot\frac{V_{\max}}{0,09}=\frac{V_{\max}}{0,06}=16{,}666\ldots\,V_{\max}.
Para arredondar, escrevemos
\tau_{\max}\approx 16{,}67\;V_{\max}\quad\text{(Pa, se \(V_{\max}\) em N).}
Observação prática: encontre primeiro V_{\max} no diagrama V(x) e então aplique a fórmula para obter a tensão máxima por cisalhamento na seção.

Passo 8

Interpretação dos resultados e como aplicar na prova:
  • Passo na prova: primeiro obtenha numericamen­te V(x) e M(x) para toda a viga (usando passos dos Passos 2 e 3). Identifique V_{\max} (normalmente em apoios ou imediatamente à esquerda/direita de cargas) e M_{\max} (onde V=0 ou em extremos se aplicável).
  • Depois use as fórmulas do Passo 6 e Passo 7 para calcular \sigma_{\max} e \tau_{\max} na seção 30\times30 cm.
  • Lembre-se que as tensões variam pela altura:
    • Tensões normais variam linearmente em y: \sigma_{x}(y)=\dfrac{M(x)\,y}{I}.
    • Tensões de cisalhamento variam por \tau_{xy}(y)=\dfrac{V(x)(c^{2}-y^{2})}{2I} (máxima no eixo neutro).
  • Se precisar verificar segurança, combine tensões (por exemplo, critério de resistência) conforme pedido pelo enunciado da prova.

Resposta

Não é possível determinar numericamente os diagramas de esforço cortante V(x) e de momento fletor M(x) porque o enunciado depende da “viga da questão anterior” (faltam comprimento, apoios e carregamentos).\n
Tensão normal máxima (flexão) para a seção 30\times30 cm:
\sigma_{\max}=\frac{M_{\max}\,c}{I}=\frac{M_{\max}}{4{,}50\times10^{-3}}\\ \text{(Pa, se \(M_{\max}\) em N·m),}
com I=6{,}75\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{4} e c=0{,}15\\ \mathrm{m}.\n
Tensão cisalhante máxima para a seção 30\times30 cm:
\tau_{\max}=\frac{3}{2}\,\frac{V_{\max}}{A}\approx 1{,}5\cdot\frac{V_{\max}}{0{,}09}\approx 16{,}67\,V_{\max}\\ \text{(Pa, se \(V_{\max}\) em N).}

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