QUESTÃO 4 - ( \mathbf{4 , 0} pontos) A resistência do concreto à compressão está sendo testada por um engenheiro civil. Ele testa 12 corpos de prova e obtém os seguintes dados (também disponíveis na planilha no Moodle):
2216 2237 2249 2204
2225 2301 2281 2263
2318 2255 2275 2295
Suponha que a população é normalmente distribuída. Use o StatDisk para analisar o conjunto de dados.
a) Qual a média amostral?
b) Qual o desvio padrão amostral?
c) Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a média populacional e interprete o resultado.
d) Para construir esse intervalo, qual distribuição foi utilizada: a normal padrão ou a distribuição t ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado fornece os 12 valores das resistências dos corpos de prova:
2216,\;2237,\;2249,\;2204,\;2225,\;2301,\;2281,\;2263,\;2318,\;2255,\;2275,\;2295.
As perguntas são:
a) Qual a média amostral?
b) Qual o desvio padrão amostral?
c) Construa um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional e interprete o resultado.
d) Para construir esse intervalo, qual distribuição foi utilizada: a normal padrão ou a distribuição t? Justifique.

Passo 2

Cálculo da média amostral (passo a passo e interpretação).
Definição: a média amostral \bar{x} é a soma das observações dividida pelo número de observações n. Ou seja,
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui n= 12 e a soma dos valores é
\sum_{i=1}^{12} x_i = 27119,
que encontrei somando todos os números do enunciado. Portanto
\bar{x}=\frac{27119}{12}=2259,916666\ldots
Interpretação curta: \bar{x} é a estimativa pontual da resistência média do concreto na população; numericamente é aproximadamente 2259,92 (arredondando para duas casas decimais).

Passo 3

Cálculo do desvio padrão amostral s (explicando cada elemento).
Fórmula do desvio padrão amostral:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2},
onde n é o tamanho da amostra e \bar{x} é a média amostral. Aqui n= 12 e \bar{x}= 2259,916666\ldots.
Procedimento prático (resumo dos cálculos):
  • Calculei cada desvio x_i-\bar{x} e seus quadrados (x_i-\bar{x})^2.
  • Somei todos os quadrados das diferenças e obtive
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar{x})^2 \approx 13916,916666.
  • Dividi por n-1= 11 para obter a variância amostral:
s^2=\frac{13916,916666}{11}\approx 1265,174242.
  • Extraí a raiz quadrada para obter o desvio padrão amostral:
s\approx\sqrt{1265,174242}\approx 35,5693.
Interpretação curta: o desvio padrão amostral s mede a dispersão das resistências em torno da média amostral; aqui s\approx 35,57 (duas casas decimais).

Passo 4

Construção do intervalo de confiança de 95\% para a média (com explicação didática).
Quando a população é normal e a variância populacional \sigma^2 é desconhecida (caso aqui), usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição t. A fórmula geral para um intervalo (1-\alpha)\cdot 100\% é
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral,
  • t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil superior da distribuição t com n-1 graus de liberdade,
  • s é o desvio padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra,
  • \frac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média.
Para 95\% de confiança temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025. Com n-1= 11 graus de liberdade, o valor crítico é (tabela t ou software/StatDisk)
t_{0,025,\;11}\approx 2,200985\\ (\text{aprox. }2,201).
Calculemos o erro padrão:
\text{EP}=\frac{s}{\sqrt{n}} \approx \frac{35,5693}{\sqrt{12}}\approx \frac{35,5693}{3,4641016}\approx 10,2693.
Margem de erro:
\text{ME}=t_{0,025,11}\cdot\text{EP}\approx 2,200985\cdot 10,2693\approx 22,593.
Intervalo de confiança:
\bar{x}\pm\text{ME}\implies 2259,9167\pm 22,593
ou num formato de limites:
\text{IC}_{95\%}\approx(2237,324,\;2282,510).
(Arredondando para duas casas decimais: (2237,32,\;2282,51).)

Passo 5

Interpretação do intervalo de confiança (linguagem simples e útil para prova).
O intervalo (2237,32,\;2282,51) significa que, com 95\% de confiança, a verdadeira média populacional da resistência do concreto está entre 2237,32 e 2282,51. Em linguagem prática: se repetíssemos o experimento muitas vezes e construíssemos um intervalo de 95\% a partir de cada amostra, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a média verdadeira.

Passo 6

Qual distribuição foi usada e por quê (resposta didática e curta).
Usei a distribuição t de Student com n-1= 11 graus de liberdade. Justificativa: a população foi assumida normal, a variância populacional \sigma^2 é desconhecida e a amostra é pequena ( n= 12<30), então o procedimento correto é usar t em vez da normal padrão Z.

Resposta

a) \bar{x}=2259,92\n
b) s=35,57\n
c) \mathrm{IC}_{95\%}\approx(2237,32,\;2282,51)\n
d) Distribuição t de Student (porque \sigma é desconhecida e n=12 é pequeno)

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