QUESTÃO 4 - ( \mathbf{4 , 0} pontos) A resistência do concreto à compressão está sendo testada por um engenheiro civil. Ele testa 12 corpos de prova e obtém os seguintes dados (também disponíveis na planilha no Moodle):
2216
2237
2249
2204
2225
2301
2281
2263
2318
2255
2275
2295
Suponha que a população é normalmente distribuída. Use o StatDisk para analisar o conjunto de dados.
a) Qual a média amostral?
b) Qual o desvio padrão amostral?
c) Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a média populacional e interprete o resultado.
d) Para construir esse intervalo, qual distribuição foi utilizada: a normal padrão ou a distribuição t ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece os 12 valores das resistências dos corpos de prova:
As perguntas são:
a) Qual a média amostral?
b) Qual o desvio padrão amostral?
c) Construa um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional e interprete o resultado.
d) Para construir esse intervalo, qual distribuição foi utilizada: a normal padrão ou a distribuição t? Justifique.
Passo 2
Cálculo da média amostral (passo a passo e interpretação).
Definição: a média amostral \bar{x} é a soma das observações dividida pelo número de observações n. Ou seja,
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui n=12 e a soma dos valores é
\sum_{i=1}^{12} x_i = 27119,
que encontrei somando todos os números do enunciado. Portanto
\bar{x}=\frac{27119}{12}=2259,916666\ldots
Interpretação curta: \bar{x} é a estimativa pontual da resistência média do concreto na população; numericamente é aproximadamente 2259,92 (arredondando para duas casas decimais).
Passo 3
Cálculo do desvio padrão amostral s (explicando cada elemento).
Fórmula do desvio padrão amostral:
Dividi por n-1=11 para obter a variância amostral:
s^2=\frac{13916,916666}{11}\approx 1265,174242.
Extraí a raiz quadrada para obter o desvio padrão amostral:
s\approx\sqrt{1265,174242}\approx 35,5693.
Interpretação curta: o desvio padrão amostral s mede a dispersão das resistências em torno da média amostral; aqui s\approx 35,57 (duas casas decimais).
Passo 4
Construção do intervalo de confiança de 95\% para a média (com explicação didática).
Quando a população é normal e a variância populacional \sigma^2 é desconhecida (caso aqui), usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição t. A fórmula geral para um intervalo (1-\alpha)\cdot 100\% é
(Arredondando para duas casas decimais: (2237,32,\;2282,51).)
Passo 5
Interpretação do intervalo de confiança (linguagem simples e útil para prova).
O intervalo (2237,32,\;2282,51) significa que, com 95\% de confiança, a verdadeira média populacional da resistência do concreto está entre 2237,32 e 2282,51. Em linguagem prática: se repetíssemos o experimento muitas vezes e construíssemos um intervalo de 95\% a partir de cada amostra, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a média verdadeira.
Passo 6
Qual distribuição foi usada e por quê (resposta didática e curta).
Usei a distribuição t de Student com n-1=11 graus de liberdade. Justificativa: a população foi assumida normal, a variância populacional \sigma^2 é desconhecida e a amostra é pequena (n=12<30), então o procedimento correto é usar t em vez da normal padrão Z.
Resposta
a) \bar{x}=2259,92\n
b) s=35,57\n
c) \mathrm{IC}_{95\%}\approx(2237,32,\;2282,51)\n
d) Distribuição t de Student (porque \sigma é desconhecida e n=12 é pequeno)