QUESTÃO 3 - ( \mathbf{4 , 0} pontos) Um intervalo de confiança [35,21; 35,99], com nível de confiança de 99 \%, foi construído a partir de uma amostra de tamanho n=100, para a média \mu de uma população Normal com desvio-padrão conhecido igual a \sigma=2.
a) Qual foi o valor encontrado para a média dessa amostra?
b) Qual a margem de erro usada para a construção do intervalo?
c) Qual o valor crítico usado para a construção do intervalo?
d) Se usássemos a mesma amostra, mas um nível de confiança de 90 \%, qual seria o novo intervalo de confiança? Como vocês compararam os dois intervalos (o do enunciado e esse último)?

Passo 1

O enunciado dá um intervalo de confiança para a média \mu de uma população Normal com desvio-padrão conhecido e pede quatro coisas. Dados e perguntas, explicitados:
  • Intervalo de confiança fornecido: [35,21;35,99].
  • Nível de confiança informado no enunciado: 99\%.
  • Tamanho da amostra: n=100.
  • Desvio-padrão populacional conhecido: \sigma=2.
    Perguntas:
    a) Qual foi o valor encontrado para a média da amostra?
    b) Qual a margem de erro usada para a construção do intervalo?
    c) Qual o valor crítico usado para a construção do intervalo?
    d) Usando a mesma amostra, se o nível de confiança fosse 90\%, qual seria o novo intervalo de confiança? Como comparar os dois intervalos?

Passo 2

Fórmula padrão (caso de desvio-padrão populacional conhecido) para intervalo de confiança bilateral para a média:
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Expliquei cada parte:
  • \bar{x} é a média amostral (o ponto central do intervalo).
  • z_{\alpha/2} é o quantil crítico da Normal padrão associado ao nível de significância \alpha (para um nível de confiança 1-\alpha). Por exemplo, para 95\% de confiança usa-se z_{0,025}, para 90\% usa-se z_{0,05}, para 99\% usa-se z_{0,005}.
  • \sigma é o desvio-padrão populacional conhecido.
  • n é o tamanho da amostra; \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média.
    A margem de erro E é o termo à direita do \pm:
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Encontrar a média amostral \bar{x}. Dado um intervalo simétrico em torno da média, a média é o ponto médio dos extremos do intervalo:
\bar{x}=\frac{35,21+35,99}{2}.
Calculemos:
35,21+35,99=71,20,
\bar{x}=\frac{71,20}{2}=35,60.
Logo a média da amostra é \bar{x}=35,60.

Passo 4

Encontrar a margem de erro E. A margem de erro é a metade da largura do intervalo:
E=35,99-35,60=0,39.
Também dá para verificar pelo outro lado:
E=35,60-35,21=0,39.
Portanto E=0,39.

Passo 5

Encontrar o valor crítico z_{\alpha/2} que foi efetivamente usado. Da fórmula de E:
z_{\alpha/2}=\frac{E}{\sigma/\sqrt{n}}.
Calcule \sigma/\sqrt{n}:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{100}}=\frac{2}{10}=0,20.
Agora:
z_{\alpha/2}=\frac{0,39}{0,20}=1,95.
Portanto o valor crítico usado para construir o intervalo fornecido foi z_{\alpha/2}=1,95 (aproximadamente).
Observação importante (pra não te enganar na prova): o enunciado dizia nível de confiança 99\%. O quantil teórico para 99\% seria
z_{0,005}\approx2,5758\approx2,576,
e não 1,95. Logo os números do intervalo dado são inconsistentes com um nível de confiança 99\% — mas nós seguimos os dados do intervalo para calcular o z efetivamente usado (que resultou em 1,95). Isso significa que, ou houve erro no enunciado ao declarar 99\%, ou o intervalo foi construído com outro nível real (o z=1,95 corresponde a um nível de confiança em torno de 94,9\%). De qualquer forma, seguimos a definição matemática para extrair \bar{x}, E e o z usado.

Passo 6

Agora calcular o novo intervalo com nível de confiança 90\% usando a mesma amostra. Para 90\% de confiança, \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05. O valor crítico referente é (tabela da Normal padrão)
z_{0,05}\approx1,645.
Calcule a nova margem de erro:
E_{90}=z_{0,05}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,645\times0,20=0,329.
Construindo o intervalo centrado em \bar{x}=35,60:
\text{limite inferior}=35,60-0,329=35,271,
\text{limite superior}=35,60+0,329=35,929.
Arredondando para duas casas decimais, como o enunciado original usa duas casas:
[35,27;\;35,93].

Passo 7

Comparação entre os dois intervalos e comentário conceitual:
  • Intervalo original (fornecido no enunciado): [35,21;35,99] com metade da largura E=0,39. O valor crítico deduzido foi z\approx1,95.
  • Novo intervalo para 90\%: [35,27;35,93] com metade da largura E_{90}=0,329.
    Comparação prática:
  • O intervalo de 90\% é mais estreito (metade da largura 0,329) do que o intervalo fornecido (metade da largura 0,39). Isso faz sentido: níveis de confiança menores produzem intervalos mais curtos.
    Comentário sobre a inconsistência: teoricamente, um intervalo de 99\% deveria ser ainda mais largo; usando o z correto para 99\% ( z\approx2,576) a margem seria E_{99}=2,576\times0,20\approx0,515 e o intervalo correto para 99\% seria aproximadamente [35,09;\;36,12] (arredondado). Assim, o intervalo fornecido no enunciado não corresponde ao 99\% clássico, mas sim ao intervalo construído com z\approx1,95.

Resposta

(a) \bar{x}=35,60
(b) E=0,39
(c) z_{\alpha/2}\approx1,95 (valor crítico efetivamente usado)
(d) Novo intervalo 90\%: [35,27;\;35,93]

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