QUESTÃO 3 - (
pontos) Um intervalo de confiança [35,21; 35,99], com nível de confiança de
, foi construído a partir de uma amostra de tamanho
, para a média
de uma população Normal com desvio-padrão conhecido igual a
.
a) Qual foi o valor encontrado para a média dessa amostra?
b) Qual a margem de erro usada para a construção do intervalo?
c) Qual o valor crítico usado para a construção do intervalo?
d) Se usássemos a mesma amostra, mas um nível de confiança de
, qual seria o novo intervalo de confiança? Como vocês compararam os dois intervalos (o do enunciado e esse último)?
a) Qual foi o valor encontrado para a média dessa amostra?
b) Qual a margem de erro usada para a construção do intervalo?
c) Qual o valor crítico usado para a construção do intervalo?
d) Se usássemos a mesma amostra, mas um nível de confiança de
Passo 1
O enunciado dá um intervalo de confiança para a média
de uma população Normal com desvio-padrão conhecido e pede quatro coisas. Dados e perguntas, explicitados:
- Intervalo de confiança fornecido:
. - Nível de confiança informado no enunciado:
. - Tamanho da amostra:
. - Desvio-padrão populacional conhecido:
.
Perguntas:
a) Qual foi o valor encontrado para a média da amostra?
b) Qual a margem de erro usada para a construção do intervalo?
c) Qual o valor crítico usado para a construção do intervalo?
d) Usando a mesma amostra, se o nível de confiança fosse, qual seria o novo intervalo de confiança? Como comparar os dois intervalos?
Passo 2
Fórmula padrão (caso de desvio-padrão populacional conhecido) para intervalo de confiança bilateral para a média:
Expliquei cada parte:
-
é a média amostral (o ponto central do intervalo). -
é o quantil crítico da Normal padrão associado ao nível de significância (para um nível de confiança ). Por exemplo, para de confiança usa-se , para usa-se , para usa-se . -
é o desvio-padrão populacional conhecido. -
é o tamanho da amostra; é o erro padrão da média.
A margem de erroé o termo à direita do :
Passo 3
Encontrar a média amostral
. Dado um intervalo simétrico em torno da média, a média é o ponto médio dos extremos do intervalo:
Calculemos:
Logo a média da amostra é
.
Passo 4
Encontrar a margem de erro
. A margem de erro é a metade da largura do intervalo:
Também dá para verificar pelo outro lado:
Portanto
.
Passo 5
Encontrar o valor crítico
que foi efetivamente usado. Da fórmula de
:
Calcule
:
Agora:
Portanto o valor crítico usado para construir o intervalo fornecido foi
(aproximadamente).
Observação importante (pra não te enganar na prova): o enunciado dizia nível de confiança
. O quantil teórico para
seria
e não
. Logo os números do intervalo dado são inconsistentes com um nível de confiança
— mas nós seguimos os dados do intervalo para calcular o
efetivamente usado (que resultou em
). Isso significa que, ou houve erro no enunciado ao declarar
, ou o intervalo foi construído com outro nível real (o
corresponde a um nível de confiança em torno de
). De qualquer forma, seguimos a definição matemática para extrair
,
e o
usado.
Passo 6
Agora calcular o novo intervalo com nível de confiança
usando a mesma amostra. Para
de confiança,
e
. O valor crítico referente é (tabela da Normal padrão)
Calcule a nova margem de erro:
Construindo o intervalo centrado em
:
Arredondando para duas casas decimais, como o enunciado original usa duas casas:
Passo 7
Comparação entre os dois intervalos e comentário conceitual:
- Intervalo original (fornecido no enunciado):
com metade da largura . O valor crítico deduzido foi . - Novo intervalo para
: com metade da largura .
Comparação prática: - O intervalo de
é mais estreito (metade da largura ) do que o intervalo fornecido (metade da largura ). Isso faz sentido: níveis de confiança menores produzem intervalos mais curtos.
Comentário sobre a inconsistência: teoricamente, um intervalo dedeveria ser ainda mais largo; usando o correto para ( ) a margem seria e o intervalo correto para seria aproximadamente (arredondado). Assim, o intervalo fornecido no enunciado não corresponde ao clássico, mas sim ao intervalo construído com .
Resposta
(a)
(b)
(c) (valor crítico efetivamente usado)
(d) Novo intervalo :
(b)
(c)
(d) Novo intervalo