Questão - 3 O
Considere hipoteticamente que um levantamento da polícia civil a respeito do número de homicídios por faixa etária, em anos, seja dado pela distribuição de frequência a seguir.
Faixa etária
Número de homicidios
8
10
20
12
Total
50
Nessas condições, qual é a idade mediana da distribuição de frequências apresentada?
| Faixa etária | Número de homicidios |
|
|
8 |
|
|
10 |
|
|
20 |
|
|
12 |
| Total | 50 |
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição de frequências por faixas etárias (em anos) com as seguintes informações:
O que o problema pede: determinar a idade mediana da distribuição (ou seja, a idade que divide a distribuição ao meio).
Passo 2
Vamos montar as frequências acumuladas para identificar em que classe está a mediana. Soma cumulativa das frequências, indo de baixo para cima:
Passo 3
A posição da mediana em uma amostra com
observações é dada por
. Aqui
, então:
Procuramos a classe cuja frequência acumulada atinge ou ultrapassa
. Observando as acumuladas:
e
. Logo, a mediana está na classe
.
Das quantidades relevantes para a fórmula:
Passo 4
Agora a fórmula padrão para a mediana em dados agrupados (assumindo distribuição aproximadamente uniforme dentro da classe) é:
Explicando cada termo de forma simples:
-
é o limite inferior da classe onde está a mediana (aqui, ). -
é a posição mediana na contagem total (aqui, ). -
é a frequência acumulada antes da classe mediana (quantas observações já ocorreram nas classes anteriores). -
é a frequência da própria classe mediana. -
é a largura (amplitude) da classe.
A ideia por trás da fórmula: interpolamos linearmente dentro da classe mediana a partir do excesso de observações que faltam até chegar à posição.
Passo 5
Aplicando a fórmula com os números que calculamos:
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo: a idade mediana é
anos, ou seja, metade dos homicídios (25) ocorreu em idades abaixo de aproximadamente
anos e metade acima. Você conseguiu! Faltam poucos passos até a prova — esse tipo de interpolação dentro da classe é bastante comum em estatística agrupada.