Questão - 3 O

Considere hipoteticamente que um levantamento da polícia civil a respeito do número de homicídios por faixa etária, em anos, seja dado pela distribuição de frequência a seguir.
Faixa etária Número de homicidios
10 \leftarrow 20 8
20 \leftarrow-30 10
30 \leftarrow 40 20
40 \leftarrow 50 12
Total 50
Nessas condições, qual é a idade mediana da distribuição de frequências apresentada?

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de frequências por faixas etárias (em anos) com as seguintes informações:
\begin{array}{c|c} \text{Faixa etária} & \text{Número de homicídios} \\\ \hline 10\leftarrow 20 & 8\\\\ 20\leftarrow 30 & 10\\\\ 30\leftarrow 40 & 20\\\\ 40\leftarrow 50 & 12\\\ \hline \text{Total} & 50 \end{array}
O que o problema pede: determinar a idade mediana da distribuição (ou seja, a idade que divide a distribuição ao meio).

Passo 2

Vamos montar as frequências acumuladas para identificar em que classe está a mediana. Soma cumulativa das frequências, indo de baixo para cima:
\begin{aligned} \text{1ª classe (10--20): }& 8 \\\ \text{2ª classe (20--30): }& 8+10 = 18 \\\ \text{3ª classe (30--40): }& 18+20 = 38 \\\ \text{4ª classe (40--50): }& 38+12 = 50 \end{aligned}ªªªª

Passo 3

A posição da mediana em uma amostra com n observações é dada por n/2. Aqui n=50, então:
\frac{n}{2}= \frac{50}{2} = 25.
Procuramos a classe cuja frequência acumulada atinge ou ultrapassa 25. Observando as acumuladas: 18<25 e 38\ge25. Logo, a mediana está na classe 30\leftarrow 40.
Das quantidades relevantes para a fórmula:
\begin{aligned} L &= 30 &&\text{(limite inferior da classe mediana)}\\\ F &= 18 &&\text{(frequência acumulada antes da classe mediana)}\\\ f_m &= 20 &&\text{(frequência da classe mediana)}\\\ h &= 10 &&\text{(amplitude da classe: }40-30=10\text{)} \end{aligned}êê

Passo 4

Agora a fórmula padrão para a mediana em dados agrupados (assumindo distribuição aproximadamente uniforme dentro da classe) é:
\text{Mediana} = L + \left(\frac{\frac{n}{2}-F}{f_m}\right)\cdot h.
Explicando cada termo de forma simples:
  • L é o limite inferior da classe onde está a mediana (aqui, 30).
  • n/2 é a posição mediana na contagem total (aqui, 25).
  • F é a frequência acumulada antes da classe mediana (quantas observações já ocorreram nas classes anteriores).
  • f_m é a frequência da própria classe mediana.
  • h é a largura (amplitude) da classe.
    A ideia por trás da fórmula: interpolamos linearmente dentro da classe mediana a partir do excesso de observações que faltam até chegar à posição n/2.

Passo 5

Aplicando a fórmula com os números que calculamos:
\begin{aligned} \text{Mediana} &= 30 + \left(\frac{25-18}{20}\right)\cdot 10\\[6pt] 25-18 &= 7\\[6pt] \frac{7}{20} &= 0,35\\[6pt] 0,35\cdot 10 &= 3,5\\[6pt] \text{Mediana} &= 30 + 3,5 = 33,5. \end{aligned}]

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: a idade mediana é \,33,5 anos, ou seja, metade dos homicídios (25) ocorreu em idades abaixo de aproximadamente \,33,5 anos e metade acima. Você conseguiu! Faltam poucos passos até a prova — esse tipo de interpolação dentro da classe é bastante comum em estatística agrupada.

Resposta

33,5 anos

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