Questão 2 [ \mathbf{3 , 5} pontos] Seja a elipse \mathcal{E}, onde um dos focos é F=(-5,4), um dos vértices focais é A=(2,-3) e a equação da reta não focal é \mathcal{L}_{N F}: x-y=-5. Considere esses dados para responder as seguintes questões.
(a) [1,0 ponto ] Encontre a equação cartesiana da reta focal da elipse \mathcal{E}.
(b) [2,5 pontos ] Encontre as coordenadas do centro, os vértices não focais, o outro vértice focal e o outro foco.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue:
Dados:
F=(-5,4)
A=(2,-3)
\mathcal{L}_{NF}: x-y=-5
Perguntas:
(a) Encontre a equação cartesiana da reta focal da elipse \mathcal{E}.
(b) Encontre as coordenadas do centro, os vértices não focais, o outro vértice focal e o outro foco.
Observação importante (do enunciado): a reta chamada de “reta não focal” é a reta do eixo menor (ou seja, a reta que contém os vértices não focais — os co‑vértices) e é perpendicular à reta focal (eixo maior). O ponto A é um vértice focal (um extremo do eixo maior) e F é um foco; logo A, F e o centro C estão sobre a reta focal (eixo maior).
Passo 2
Vamos achar a equação da reta focal (eixo maior). Como A e F estão sobre essa reta, podemos calcular seu coeficiente angular usando A e F.
Usando a forma ponto‑coeficiente com o ponto A=(2,-3):
y-(-3)=-1(x-2).
Simplificando:
y+3=-x+2 \quad\Rightarrow\quad x+y+1=0.
Portanto a reta focal é \;x+y+1=0.
Passo 3
Vamos encontrar o centro C\). O centro é a interseção entre a reta focal e a reta não focal \(\mathcal{L}_{NF}\). Resolvemos o sistema:
\[\begin{cases} x+y+1=0,\\[4pt] x-y=-5. \end{cases}
Substituindo em (x-y=-5]: -3-y=-5 \quad\Rightarrow\quad -y=-2 \quad\Rightarrow\quad y=2.
Logo C=(-3,2).]
Passo 4
Agora calculamos as distâncias do centro C ao vértice A e ao foco F. Essas distâncias são, respectivamente, a (semieixo maior) e c (distância do centro ao foco).
A partir de C e do vetor \overrightarrow{CA}=(5,-5) podemos obter o outro vértice focal (o vértice simétrico de A em relação a C). A coordenada do outro vértice A' é:
A'=C-\overrightarrow{CA}=(-3,2)-(5,-5)=(-8,7).
(Alternativamente A'=2C-A.)
Passo 6
De forma análoga, o outro foco F' é o simétrico de F em relação a C. Usando F'=2C-F:
2C=(2\cdot(-3),2\cdot 2)=(-6,4),
F'=2C-F=(-6,4)-(-5,4)=(-6+5,4-4)=(-1,0).
Passo 7
Agora encontramos os vértices não focais (co‑vértices). Primeiro calculamos b (semieixo menor) usando a relação clássica da elipse:
b=\sqrt{a^2-c^2}.
Calculando a^2 e c^2:
a^2=(5\sqrt{2})^2=50,\qquad c^2=(2\sqrt{2})^2=8.
Logo
b=\sqrt{50-8}=\sqrt{42}.
Passo 8
Os vértices não focais estão sobre a reta \mathcal{L}_{NF}: x-y=-5, que tem coeficiente angular 1 (pois y=x+5). Um vetor diretor dessa reta é (1,1). O vetor unitário nessa direção é
Recapitulando os pontos-chave que encontramos (estes serão formalizados na seção de resposta final): a reta focal, o centro C, os dois co‑vértices, o outro vértice focal (oposto a A) e o outro foco.
Resposta
(a) x+y+1=0
(b) Centro: C=(-3,2)
Vértices não focais: (-3+\sqrt{21},\,2+\sqrt{21}) e (-3-\sqrt{21},\,2-\sqrt{21})
Outro vértice focal: (-8,7)
Outro foco: (-1,0)