Questão 16: Considere os subespaços vetoriais do
:
a. Determine uma base e a dimensão de
.
b.
?
b.
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços de
:
As perguntas são:
- Determinar uma base e a dimensão de
. - Verificar se
.
Dados relevantes listados:
geram
.
geram
.
Passo 2
Entender
. Vou analisar linearmente os vetores geradores de
:
Checo se são linearmente independentes: suponha que existam
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada, nas primeiras duas coordenadas obtemos
Subtraindo a primeira equação da segunda dá
. Então
. Logo
e
são linearmente independentes, portanto
.
Agora mostro que
é, na prática, o plano das duas primeiras coordenadas: tomo uma combinação genérica
Dado um par qualquer
nas duas primeiras coordenadas, podemos resolver
Subtraindo,
e
. Assim qualquer
é atingido por alguma combinação linear, então
Portanto uma base conveniente para
é
e
.
Passo 3
Entender
. Chamo
Verifico independência: suponha
. Pela primeira coordenada obtemos
; então pela última coordenada
. Logo
são linearmente independentes e
. Uma base natural de
é
.
Também observei que
pode ser escrita como
onde
. Isso será útil para construir vetores das coordenadas 3 e 4.
Passo 4
Construir
. Por definição,
Mas, como vimos em
Passo 5
Calcule a combinação
Este vetor
está em
porque é diferença de um vetor de
e um de
. Agora subtraio
(que já está em
) de
:
Portanto
. Já temos
e
. Ou seja, os quatro vetores padrões
estão todos em
.
Passo 6
Concluir sobre base e dimensão. Como
estão em
e esses quatro vetores formam a base canônica de
(são linearmente independentes e geram todo
), segue que
Portanto
. Uma base de
é, por exemplo, a base canônica
Resposta
Uma base para
é
e
.
Sim, .
Sim,