Questão 16: Considere os subespaços vetoriais do \mathbb{R}^{4} :
W_{1}=[(1,1,0,0),(1,2,0,0)], W_{2}=[(1,1,1,1),(0,0,0,1)]
a. Determine uma base e a dimensão de W_{1}+W_{2}.
b. W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{4} ?

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de \mathbb{R}^{4}:
W_{1} = [\,(1,1,0,0),\,(1,2,0,0)\,], \qquad W_{2} = [\,(1,1,1,1),\,(0,0,0,1)\,].
As perguntas são:
  1. Determinar uma base e a dimensão de W_{1}+W_{2}.
  2. Verificar se W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{4}.
Dados relevantes listados:
\,(1,1,0,0),\,(1,2,0,0) geram W_{1}.
\,(1,1,1,1),\,(0,0,0,1) geram W_{2}.

Passo 2

Entender W_{1}. Vou analisar linearmente os vetores geradores de W_{1}:
u_{1}=(1,1,0,0),\qquad u_{2}=(1,2,0,0).
Checo se são linearmente independentes: suponha que existam \alpha,\beta tais que
\alpha u_{1}+\beta u_{2}=0.
Escrevendo coordenada a coordenada, nas primeiras duas coordenadas obtemos
\alpha+\beta=0,\qquad \alpha+2\beta=0.
Subtraindo a primeira equação da segunda dá \beta=0. Então \alpha=0. Logo u_{1} e u_{2} são linearmente independentes, portanto \dim(W_{1})=2.
Agora mostro que W_{1} é, na prática, o plano das duas primeiras coordenadas: tomo uma combinação genérica
\gamma u_{1}+\delta u_{2}=(\gamma+\delta,\;\gamma+2\delta,\;0,\;0).
Dado um par qualquer (x,y) nas duas primeiras coordenadas, podemos resolver
\gamma+\delta=x,\qquad \gamma+2\delta=y.
Subtraindo, \delta=y-x e \gamma=2x-y. Assim qualquer (x,y,0,0) é atingido por alguma combinação linear, então
W_{1}=\{\,(x,y,0,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}.
Portanto uma base conveniente para W_{1} é
\{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\},
e \dim(W_{1})=2.

Passo 3

Entender W_{2}. Chamo
w_{1}=(1,1,1,1),\qquad w_{2}=(0,0,0,1).
Verifico independência: suponha \mu w_{1}+\nu w_{2}=0. Pela primeira coordenada obtemos \mu=0; então pela última coordenada \nu=0. Logo w_{1},w_{2} são linearmente independentes e \dim(W_{2})=2. Uma base natural de W_{2} é \{(1,1,1,1),(0,0,0,1)\}.
Também observei que w_{1} pode ser escrita como
w_{1}=(1,1,0,0)+(0,0,1,1)=u_{1}+(0,0,1,1),
onde u_{1}\in W_{1}. Isso será útil para construir vetores das coordenadas 3 e 4.

Passo 4

Construir W_{1}+W_{2}. Por definição,
W_{1}+W_{2}=\operatorname{span}\{u_{1},u_{2},w_{1},w_{2}\}.
Mas, como vimos em

Passo 5

Calcule a combinação
w_{1}-u_{1}=(1,1,1,1)-(1,1,0,0)=(0,0,1,1).
Este vetor (0,0,1,1) está em W_{1}+W_{2} porque é diferença de um vetor de W_{2} e um de W_{1}. Agora subtraio w_{2}=(0,0,0,1) (que já está em W_{2}) de (0,0,1,1):
(0,0,1,1)-w_{2}=(0,0,1,1)-(0,0,0,1)=(0,0,1,0).
Portanto (0,0,1,0)\in W_{1}+W_{2}. Já temos (1,0,0,0),(0,1,0,0)\in W_{1} e (0,0,1,0),(0,0,0,1)\in W_{1}+W_{2}. Ou seja, os quatro vetores padrões
e_{1}=(1,0,0,0),\quad e_{2}=(0,1,0,0),\quad e_{3}=(0,0,1,0),\quad e_{4}=(0,0,0,1)
estão todos em W_{1}+W_{2}.

Passo 6

Concluir sobre base e dimensão. Como e_{1},e_{2},e_{3},e_{4} estão em W_{1}+W_{2} e esses quatro vetores formam a base canônica de \mathbb{R}^{4} (são linearmente independentes e geram todo \mathbb{R}^{4}), segue que
W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{4}.
Portanto \dim(W_{1}+W_{2})=4. Uma base de W_{1}+W_{2} é, por exemplo, a base canônica
\{(1,0,0,0),\,(0,1,0,0),\,(0,0,1,0),\,(0,0,0,1)\}.

Resposta

Uma base para W_{1}+W_{2} é \{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\} e \dim(W_{1}+W_{2})=4.
Sim, W_{1}+W_{2}=\mathbb{R}^{4}.

Exercícios relacionados