Questão 2: ( \mathbf{4 0} Pts) Determine as derivadas das funções abaixo. Simplifique seu resultado!
d) (10Pts) f(x)=5^{x}+5 \sqrt[5]{x{6}}-\frac{3}{x{4}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x)=5^{x}+5\sqrt[5]{x^{6}}-\frac{3}{x^{4}}.
Informações dadas (explícitas no enunciado):
  • A função é a soma de três termos: 5^{x}, 5\sqrt[5]{x^{6}} e -\dfrac{3}{x^{4}}.
  • A tarefa é calcular f'(x) e simplificá-la.

Passo 2

Primeiro vamos escrever cada termo numa forma que facilite derivar, usando potências:
\sqrt[5]{x^{6}}=x^{6/5}, \qquad \frac{3}{x^{4}}=3x^{-4}.
Portanto podemos reescrever
f(x)=5^{x}+5x^{6/5}-3x^{-4}.
Explicação curta: a regra é \sqrt[n]{x^{m}}=x^{m/n}. Aqui m=6 e n=5, então m/n=6/5.

Passo 3

Vou listar as regras de derivação que usarei. Sempre que eu usar uma regra, explico o que cada símbolo significa.
  • Regra da soma: para funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\bigl(u+v\bigr)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}.
Isso diz que podemos derivar cada termo separadamente.
  • Regra da constante multiplicativa: para constante c e função u(x),
\frac{d}{dx}\bigl(c\,u(x)\bigr)=c\frac{du}{dx}.
Ou seja, constantes saem da derivada.
  • Regra da potência (power rule): para um expoente constante n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é um número real fixo.
  • Derivada da exponencial de base a>0: para constante a,
\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a,
onde \ln a é o logaritmo natural de a.

Passo 4

Agora aplico as regras termo a termo.
Termo 1: \dfrac{d}{dx}5^{x}.
Pela regra da exponencial com a=5,
\frac{d}{dx}5^{x}=5^{x}\ln 5.
Aqui \ln 5 é só um número (a constante logarítmica).

Passo 5

Termo 2: \dfrac{d}{dx}\bigl(5x^{6/5}\bigr).
Pela regra da constante multiplicativa, mantenho o 5 e derivo x^{6/5}. Pela regra da potência com n=6/5,
\frac{d}{dx}x^{6/5}=\frac{6}{5}\,x^{6/5-1}=\frac{6}{5}\,x^{1/5}.
Multiplicando pela constante 5,
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{6/5}\bigr)=5\cdot\frac{6}{5}\,x^{1/5}=6\,x^{1/5}.
Observação de simplificação: 5\cdot\frac{6}{5}=6.

Passo 6

Termo 3: \dfrac{d}{dx}\bigl(-3x^{-4}\bigr).
Aplicando regra da constante multiplicativa e da potência com n=-4,
\frac{d}{dx}x^{-4}=-4x^{-5}.
Multiplicando pela constante -3,
\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{-4}\bigr)=-3\cdot(-4)x^{-5}=12x^{-5}.
Observação de simplificação: -3\cdot(-4)=12.

Passo 7

Juntando as derivadas dos três termos, pela regra da soma:
f'(x)=5^{x}\ln 5 + 6x^{1/5} + 12x^{-5}.
Podemos também escrever de forma alternativa usando radical e fração:
f'(x)=5^{x}\ln 5 + 6\sqrt[5]{x} + \frac{12}{x^{5}}.
Nota sobre domínio: o termo original -\dfrac{3}{x^{4}} exige x\neq0, logo f (e f') estão definidos apenas para x\neq0. As expressões em potências de quinta raiz fazem sentido para x real porque a raiz de índice ímpar está bem definida.

Passo 8

Recapitulando a derivação passo a passo:
  • Usei a forma de potência para a raiz: \sqrt[5]{x^{6}}=x^{6/5}.
  • Apliquei derivada de 5^{x} dando 5^{x}\ln 5.
  • Apliquei a regra da potência para x^{6/5} dando \tfrac{6}{5}x^{1/5}, e multipliquei pela constante 5 para obter 6x^{1/5}.
  • Apliquei a regra da potência para x^{-4} e a constante -3 para obter 12x^{-5}.
  • Somei os resultados e escrevi uma forma alternativa usando radical e fração.

Resposta

f'(x)=5^{x}\ln 5 + 6x^{1/5} + 12x^{-5}

Exercícios relacionados