Questão 2: (
Pts) Determine as derivadas das funções abaixo. Simplifique seu resultado!
d) (10Pts) f(x)=5^{x}+5 \sqrt[5]{x{6}}-\frac{3}{x{4}}
d) (10Pts) f(x)=5^{x}+5 \sqrt[5]{x{6}}-\frac{3}{x{4}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas (explícitas no enunciado):
- A função é a soma de três termos:
, e . - A tarefa é calcular
e simplificá-la.
Passo 2
Primeiro vamos escrever cada termo numa forma que facilite derivar, usando potências:
Portanto podemos reescrever
Explicação curta: a regra é
. Aqui
e
, então
.
Passo 3
Vou listar as regras de derivação que usarei. Sempre que eu usar uma regra, explico o que cada símbolo significa.
- Regra da soma: para funções
e ,
Isso diz que podemos derivar cada termo separadamente.
- Regra da constante multiplicativa: para constante
e função ,
Ou seja, constantes saem da derivada.
- Regra da potência (power rule): para um expoente constante
,
Aqui
é a variável e
é um número real fixo.
- Derivada da exponencial de base
: para constante ,
onde
é o logaritmo natural de
.
Passo 4
Agora aplico as regras termo a termo.
Termo 1:
.
Pela regra da exponencial com
,
Aqui
é só um número (a constante logarítmica).
Passo 5
Termo 2:
.
Pela regra da constante multiplicativa, mantenho o
e derivo
. Pela regra da potência com
,
Multiplicando pela constante
,
Observação de simplificação:
.
Passo 6
Termo 3:
.
Aplicando regra da constante multiplicativa e da potência com
,
Multiplicando pela constante
,
Observação de simplificação:
.
Passo 7
Juntando as derivadas dos três termos, pela regra da soma:
Podemos também escrever de forma alternativa usando radical e fração:
Nota sobre domínio: o termo original
exige
, logo
(e
) estão definidos apenas para
. As expressões em potências de quinta raiz fazem sentido para
real porque a raiz de índice ímpar está bem definida.
Passo 8
Recapitulando a derivação passo a passo:
- Usei a forma de potência para a raiz:
. - Apliquei derivada de
dando . - Apliquei a regra da potência para
dando , e multipliquei pela constante para obter . - Apliquei a regra da potência para
e a constante para obter . - Somei os resultados e escrevi uma forma alternativa usando radical e fração.