Questão 2: (
Pts) Determine as derivadas das funções abaixo. Simplifique seu resultado!
b) (10 \mathrm{Pts}) f(x)=(\operatorname{tg} x+\operatorname{sec} x) \cdot e^{x}
b) (10 \mathrm{Pts}) f(x)=(\operatorname{tg} x+\operatorname{sec} x) \cdot e^{x}
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas e objetivo:
- A função é o produto de duas funções:
e . - A tarefa é calcular
e simplificar o resultado.
Passo 2
Regra que vamos usar (produto de funções):
Se , então a derivada é dada por
Se
Explicando: essa fórmula diz que a derivada do produto é a soma de duas parcelas: a derivada da primeira vez a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda. É a regra básica para derivadas de produtos.
Passo 3
Derivadas das partes elementares (pequena aula):
- Derivada de
:
É uma propriedade fundamental: a exponencial não muda de forma ao derivar.
- Derivada de
. Lembrando que . Usando a regra do quociente:
Explicação: no numerador aplicou-se
e usamos
.
- Derivada de
. Como , pela regra do quociente (ou cadeia):
Resumo das derivadas que vamos usar:
Passo 4
Aplicando a regra do produto com
e
:
Portanto
Passo 5
Simplificação algébrica (passo a passo):
- Coloco
em evidência:
- Agrupo termos para fatorar
(usar distributiva):
- Fator comum
:
- Substituindo na expressão de
:
Essa forma é mais compacta e muitas vezes preferida em prova.
Passo 6
Dica rápida para a prova: mostrar a aplicação direta da regra do produto e em seguida evidenciar
ajuda a evitar contas repetidas. Fatorar os termos trigonométricos frequentemente leva a uma forma mais simples, como aqui, onde se obteve
. Força — tá saindo!