Questão 2: ( \mathbf{4 0} Pts) Determine as derivadas das funções abaixo. Simplifique seu resultado!
b) (10 \mathrm{Pts}) f(x)=(\operatorname{tg} x+\operatorname{sec} x) \cdot e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x) = \bigl(\tan x + \operatorname{sec} x\bigr)\,e^{x}.
Informações dadas e objetivo:
  • A função é o produto de duas funções: u(x)=\tan x+\operatorname{sec} x e v(x)=e^{x}.
  • A tarefa é calcular f'(x) e simplificar o resultado.

Passo 2

Regra que vamos usar (produto de funções):
Se f(x)=u(x)\,v(x), então a derivada é dada por
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando: essa fórmula diz que a derivada do produto é a soma de duas parcelas: a derivada da primeira vez a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda. É a regra básica para derivadas de produtos.

Passo 3

Derivadas das partes elementares (pequena aula):
  • Derivada de v(x)=e^{x}:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
É uma propriedade fundamental: a exponencial não muda de forma ao derivar.
  • Derivada de \tan x. Lembrando que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Usando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\tan x =\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x} =\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Explicação: no numerador aplicou-se (\sin/\cos)'\!=\!(\sin' \cos - \sin \cos')/\cos^{2} e usamos \sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
  • Derivada de \operatorname{sec} x. Como \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, pela regra do quociente (ou cadeia):
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x =\frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\sin x}{\cos^{2}x} =\operatorname{sec} x\,\tan x.
Resumo das derivadas que vamos usar:
\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x,\qquad \frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\,\tan x,\qquad \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 4

Aplicando a regra do produto com u(x)=\tan x+\operatorname{sec} x e v(x)=e^{x}:
u'(x)=\operatorname{sec}^{2}x+\operatorname{sec} x\,\tan x,\qquad v'(x)=e^{x}.
Portanto
f'(x)=\bigl(\operatorname{sec}^{2}x+\operatorname{sec} x\,\tan x\bigr)e^{x}+\bigl(\tan x+\operatorname{sec} x\bigr)e^{x}.

Passo 5

Simplificação algébrica (passo a passo):
  1. Coloco e^{x} em evidência:
f'(x)=\bigl(\operatorname{sec}^{2}x+\operatorname{sec} x\,\tan x+\tan x+\operatorname{sec} x\bigr)e^{x}.
  1. Agrupo termos para fatorar \operatorname{sec} x+\tan x (usar distributiva):
\operatorname{sec}^{2}x+\operatorname{sec} x\,\tan x+\tan x+\operatorname{sec} x =\operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x)+1(\operatorname{sec} x+\tan x).
  1. Fator comum \operatorname{sec} x+\tan x:
\operatorname{sec}^{2}x+\operatorname{sec} x\,\tan x+\tan x+\operatorname{sec} x=(\operatorname{sec} x+1)(\operatorname{sec} x+\tan x).
  1. Substituindo na expressão de f'(x):
f'(x)=\bigl(\operatorname{sec} x+1\bigr)\bigl(\operatorname{sec} x+\tan x\bigr)\,e^{x}.
Essa forma é mais compacta e muitas vezes preferida em prova.

Passo 6

Dica rápida para a prova: mostrar a aplicação direta da regra do produto e em seguida evidenciar e^{x} ajuda a evitar contas repetidas. Fatorar os termos trigonométricos frequentemente leva a uma forma mais simples, como aqui, onde se obteve (\operatorname{sec} x+1)(\operatorname{sec} x+\tan x)e^{x}. Força — tá saindo!

Resposta

\displaystyle f'(x)=\bigl(\operatorname{sec} x+1\bigr)\bigl(\operatorname{sec} x+\tan x\bigr)\,e^{x}

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