Questão 1:
Considere a curva definida pela equação
a) ( 15 Pts ) Determine
.
b) ( 7 Pts ) Determine a equação da reta tangente à curva no ponto
.
a) ( 15 Pts ) Determine
b) ( 7 Pts ) Determine a equação da reta tangente à curva no ponto
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente pela equação
Pede duas coisas:
- (a) Determinar
, isto é, em termos de e . - (b) Determinar a equação da reta tangente à curva no ponto
.
Informações relevantes que temos: a equação implícita acima e o ponto
. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (explicado passo a passo, sem pressa).
- A curva é dada de forma implícita:
aparece misturado com . Não temos isolado como função explícita . - Para obter
usamos diferenciação implícita: diferenciamos ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de (ou seja, ao diferenciar uma expressão com usamos a regra da cadeia e escrevemos ). - Relembrando duas regras que vamos aplicar:
- Regra do produto: se
e são funções, . No caso de , temos (com ) e (com ). - Regra da cadeia: se temos
, ao derivar obtemos porque derivamos a potência e multiplicamos pela derivada interna .
- Regra do produto: se
Passo 3
Vamos derivar termo a termo a equação
derivando em relação a
.
- Derivada de
é . - Para
usamos a constante e a regra do produto em : Ou seja, isso dá . - Para
usamos a regra da cadeia: - No lado direito,
e .
Juntando tudo, obtemos a equação diferenciada:
Passo 4
Agora organizamos essa equação para isolar
. Primeiro somamos os termos semelhantes:
Vamos colocar todos os termos que contêm
no lado esquerdo e os que não contêm
no lado direito. Para isso, adicionamos
aos dois lados e subtraímos
de ambos os lados:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 5
Isolando
dividindo pelo fator
(desde que esse fator não seja zero), obtemos a fórmula final para a derivada implícita:
Comentário prático: essa expressão dá a inclinação da curva em qualquer ponto
da curva, desde que o denominador
seja diferente de zero. Se o denominador for zero e o numerador não for zero, a curva tem tangente vertical nesse ponto.
Passo 6
Agora determinamos a reta tangente no ponto
.
- Primeiro calculamos a inclinação
no ponto, substituindo e na fórmula de : Então a inclinação da reta tangente em é . - A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação (formato ponto) é
com e . Substituindo: ou simplesmente
Resposta
Reta tangente em