Questão 1: (22 \mathrm{Pts}) Considere a curva definida pela equação x^{3}+4 x y+y^{2}=x-2 y
a) ( 15 Pts ) Determine y^{\prime}.
b) ( 7 Pts ) Determine a equação da reta tangente à curva no ponto P=(0,0).

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente pela equação
x^{3}+4xy+y^{2}=x-2y.
Pede duas coisas:
  • (a) Determinar y', isto é, \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.
  • (b) Determinar a equação da reta tangente à curva no ponto P=(0,0).
Informações relevantes que temos: a equação implícita acima e o ponto P=(0,0). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (explicado passo a passo, sem pressa).
  • A curva é dada de forma implícita: y aparece misturado com x. Não temos y isolado como função explícita y=f(x).
  • Para obter y'=\dfrac{dy}{dx} usamos diferenciação implícita: diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y é uma função de x (ou seja, ao diferenciar uma expressão com y usamos a regra da cadeia e escrevemos y'=\dfrac{dy}{dx}).
  • Relembrando duas regras que vamos aplicar:
    • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}[u v]=u'\,v+u\,v'. No caso de x\cdot y, temos u=x (com u'=1) e v=y (com v'=y').
    • Regra da cadeia: se temos y^2, ao derivar obtemos 2y\cdot y' porque derivamos a potência e multiplicamos pela derivada interna y'.

Passo 3

Vamos derivar termo a termo a equação
x^{3}+4xy+y^{2}=x-2y
derivando em relação a x.
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Para 4xy usamos a constante 4 e a regra do produto em x\cdot y: \dfrac{d}{dx}(4xy)=4\cdot\dfrac{d}{dx}(x y)=4\big( (d/dx\,x)\cdot y + x\cdot (d/dx\,y)\big)=4(y + x y').Ou seja, isso dá 4y + 4x y'.
  • Para y^{2} usamos a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot y'.
  • No lado direito, \dfrac{d}{dx}(x)=1 e \dfrac{d}{dx}(-2y)=-2y'.
Juntando tudo, obtemos a equação diferenciada:
3x^{2} + (4y + 4x y') + 2y y' = 1 - 2y'.

Passo 4

Agora organizamos essa equação para isolar y'. Primeiro somamos os termos semelhantes:
3x^{2} + 4y + 4x y' + 2y y' = 1 - 2y'.
Vamos colocar todos os termos que contêm y' no lado esquerdo e os que não contêm y' no lado direito. Para isso, adicionamos 2y' aos dois lados e subtraímos 3x^{2}+4y de ambos os lados:
4x y' + 2y y' + 2y' = 1 - 3x^{2} - 4y.
Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\big(4x + 2y + 2\big) = 1 - 3x^{2} - 4y.

Passo 5

Isolando y' dividindo pelo fator (4x+2y+2) (desde que esse fator não seja zero), obtemos a fórmula final para a derivada implícita:
y'=\dfrac{1 - 3x^{2} - 4y}{4x + 2y + 2}.
Comentário prático: essa expressão dá a inclinação da curva em qualquer ponto (x,y) da curva, desde que o denominador 4x+2y+2 seja diferente de zero. Se o denominador for zero e o numerador não for zero, a curva tem tangente vertical nesse ponto.

Passo 6

Agora determinamos a reta tangente no ponto P=(0,0).
  • Primeiro calculamos a inclinação m=y' no ponto, substituindo x=0 e y=0 na fórmula de y': y'(0,0)=\dfrac{1 - 3\cdot 0^{2} - 4\cdot 0}{4\cdot 0 + 2\cdot 0 + 2}=\dfrac{1}{2}.Então a inclinação da reta tangente em P é m=\dfrac{1}{2}.
  • A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação (formato ponto) é y - y_{0} = m (x - x_{0}),com (x_{0},y_{0})=(0,0) e m=\dfrac{1}{2}. Substituindo: y - 0 = \dfrac{1}{2}(x - 0),ou simplesmente y=\dfrac{1}{2}x.

Resposta

y'=\dfrac{1 - 3x^{2} - 4y}{4x + 2y + 2}
Reta tangente em P=(0,0): y=\dfrac{1}{2}x

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