QUESTÃO 2 ( \mathbf{2 , 5} pts.) - Reduza à forma polar e determine as formas polares de \mathbf{z}_{1} \mathbf{z}_{2} \mathrm{e} \frac{\mathbf{z}_{1}}{\mathbf{z}_{2}}. Represente os quatró números complexos em um único gráfico.
\mathrm{z}_{1}=-2+i 2, \mathrm{z}_{2}=1+i \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado pede para escrever os números complexos
z_{1}=-2+i2,\quad z_{2}=1+i\sqrt{3}
na forma polar, e em seguida obter as formas polares de
z_{1}z_{2}\quad\text{e}\quad\frac{z_{1}}{z_{2}}.
O conteúdo envolvido é representação de números complexos em coordenadas polares, usando
z=r(\cos\theta+i\sin\theta),
onde r=|z| e \theta=\arg z.

Passo 2

Calcular |z_{1}| e \arg z_{1}.
|z_{1}|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Como z_{1} tem parte real negativa e imaginária positiva, está no segundo quadrante.
\arg z_{1}=\pi-\arctan\!\Bigl|\tfrac{2}{-2}\Bigr|=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.
Logo
z_{1}=2\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\tfrac{3\pi}{4}\bigr).

Passo 3

Calcular |z_{2}| e \arg z_{2}.
|z_{2}|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{4}=2.
Aqui z_{2} está no primeiro quadrante, pois as partes real e imaginária são positivas.
\arg z_{2}=\arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{1}\bigr)=\frac{\pi}{3}.
Logo
z_{2}=2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{3}+i\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr).

Passo 4

Obter a forma polar de z_{1}z_{2}. Em coordenadas polares multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos:
|z_{1}z_{2}|=2\sqrt{2}\times 2=4\sqrt{2},\qquad \arg(z_{1}z_{2})=\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{3}=\frac{9\pi+4\pi}{12}=\frac{13\pi}{12}.
Portanto
z_{1}z_{2}=4\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{13\pi}{12}+i\sin\tfrac{13\pi}{12}\bigr).

Passo 5

Obter a forma polar de \dfrac{z_{1}}{z_{2}}. Em coordenadas polares dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos:
\Bigl|\frac{z_{1}}{z_{2}}\Bigr| =\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},\qquad \arg\!\Bigl(\frac{z_{1}}{z_{2}}\Bigr) =\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3}=\frac{9\pi-4\pi}{12}=\frac{5\pi}{12}.
Logo
\frac{z_{1}}{z_{2}} =\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{5\pi}{12}+i\sin\tfrac{5\pi}{12}\bigr).

Passo 6

Para representar os quatro números no mesmo gráfico, trace o plano complexo com eixos real e imaginário, e marque cada ponto usando seu ângulo a partir do eixo real positivo e a distância ao origem:
\begin{aligned} z_{1}&:\;r=2\sqrt{2},\;\theta=\tfrac{3\pi}{4}\quad(\text{2º quadrante}),\\\ z_{2}&:\;r=2,\;\theta=\tfrac{\pi}{3}\quad(\text{1º quadrante}),\\\ z_{1}z_{2}&:\;r=4\sqrt{2},\;\theta=\tfrac{13\pi}{12}\quad(\text{3º quadrante}),\\\ \tfrac{z_{1}}{z_{2}}&:\;r=\sqrt{2},\;\theta=\tfrac{5\pi}{12}\quad(\text{1º quadrante}). \end{aligned}ºººº

Resposta

z_{1}=2\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{3\pi}{4}+i\sin\tfrac{3\pi}{4}\bigr), \quad z_{2}=2\bigl(\cos\tfrac{\pi}{3}+i\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr),
z_{1}z_{2} =4\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{13\pi}{12}+i\sin\tfrac{13\pi}{12}\bigr), \quad \frac{z_{1}}{z_{2}} =\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{5\pi}{12}+i\sin\tfrac{5\pi}{12}\bigr).

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