Find the general solution of the given differential equation, and use it to determine how solutions behave as t \rightarrow \infty.
\left(1+t^{2}\right) y^{\prime}+4 t y=\left(1+t^{2}\right)^{-2}

Passo 1

O enunciado dá a EDO
(1+t^{2})\,y' + 4t\,y = (1+t^{2})^{-2}.
Trata-se de uma equação linear de primeira ordem. Precisamos escrever na forma padrão y'+p(t)y=q(t), achar o fator integrante, resolver e depois estudar o comportamento quando t\to\infty.

Passo 2

Dividindo tudo por 1+t^{2}, obtemos a forma padrão
y' + \frac{4t}{1+t^{2}}\,y = \frac{1}{(1+t^{2})^{3}}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int \frac{4t}{1+t^{2}}\,dt\Bigr) = \exp\bigl(2\ln(1+t^{2})\bigr) = (1+t^{2})^{2}.

Passo 4

Multiplicando a EDO padronizada por \mu(t), fica
(1+t^{2})^{2}y' + 4t(1+t^{2})\,y = \frac{(1+t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{3}} = \frac{1}{1+t^{2}}.
O lado esquerdo é a derivada exata
\frac{d}{dt}\bigl((1+t^{2})^{2}y\bigr) = \frac{1}{1+t^{2}}.
Integrando ambos os lados em relação a t,
(1+t^{2})^{2}y = \int \frac{1}{1+t^{2}}\,dt = \arctan t + C.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y(t) = \frac{\arctan t + C}{(1+t^{2})^{2}}.

Passo 6

Para t\to\infty, temos \arctan t\to \tfrac{\pi}{2} e (1+t^{2})^{2}\to\infty, portanto
y(t)\;\longrightarrow\;0.

Resposta

A solução geral é
y(t) = \frac{\arctan t + C}{(1+t^{2})^{2}},
e todas as soluções satisfazem
\lim_{t\to\infty}y(t)=0.

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