Questão. (
pts) Um tanque, com capacidade de 1000 litros, contém inicialmente 400 litros de água limpa. Entra no tanque, a uma taxa de 3 litros por minuto, água contendo 1 kg de sal por litro. A mistura sai do tanque a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) Encontre o tempo de transbordamento do tanque;
(b) Encontre a equação diferencial para a quantidade de sal no tanque. Monte o problema de valor inicial pertinente;
(c) Qual a quantidade de sal no instante do transbordamento?
(a) Encontre o tempo de transbordamento do tanque;
(b) Encontre a equação diferencial para a quantidade de sal no tanque. Monte o problema de valor inicial pertinente;
(c) Qual a quantidade de sal no instante do transbordamento?
Passo 1
O enunciado pede três coisas e nos dá os seguintes dados.
Perguntas:
- (a) Encontrar o tempo de transbordamento do tanque.
- (b) Encontrar a equação diferencial para a quantidade de sal no tanque e montar o problema de valor inicial pertinente.
- (c) Calcular a quantidade de sal no instante do transbordamento.
Dados fornecidos:
- Capacidade do tanque:
litros. - Volume inicial no tanque:
litros. - Vazão de entrada:
litros/minuto. - Concentração do sal na água que entra:
kg/litro. - Vazão de saída:
litros/minuto. - Mistura no tanque é homogênea (ou seja, concentração instantânea no tanque é
).
Observação importante: não há informação adicional (por exemplo variação de vazões no tempo), então assumimos vazões constantes como dadas.
Passo 2
Calcular a evolução do volume do líquido no tanque e o tempo de transbordamento.
Definimos
como o volume (em litros) no tanque no instante
(em minutos), com
sendo o instante inicial. A taxa de variação do volume é a entrada menos a saída:
Isto é uma equação diferencial simples para
. Integramos sabendo que
:
O transbordamento ocorre quando
. Portanto achamos o tempo
tal que
Resolvendo:
Comentário didático rápido: aqui fomos direta e corretamente porque as vazões são constantes; a taxa líquida de enchimento é
L/min, então demora
minutos para acrescentar os
litros que faltavam.
Passo 3
Definir a variável de interesse para o sal e montar a equação de balanço.
Seja
a quantidade de sal no tanque em quilogramas no instante
. Queremos uma equação para
baseada em taxas de entrada e saída de sal.
- Taxa de entrada de sal: a água que entra tem concentração
kg/L e entra a L/min, logo a massa de sal entrando por minuto é
Isto é constante.
- Taxa de saída de sal: a água que sai leva a concentração atual do tanque. A concentração instantânea no tanque é
kg/L. Como a vazão de saída é L/min, a massa de sal saindo por minuto é
Assim o balanço (entrada menos saída) dá a equação diferencial:
Como já achamos
, substituímos:
Condição inicial: inicialmente a água é limpa, então
.
Portanto o problema de valor inicial é
Passo 4
Identificar o tipo de equação e escolher o método de solução (explicação didática).
A equação
é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão
com
e
.
Método apropriado: fator integrante (integrating factor). Ideia do fator integrante: multiplicando a equação por uma função
escolhida de modo que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Esse
é dado por
Aqui
, então vamos calcular
.
Passo 5
Calcular o fator integrante e aplicar integração.
Calculemos o integral de
:
Podemos escolher
para o fator integrante (constante multiplicativa não importa), então
Multiplicando a equação original por
obtemos:
Simplificando o segundo termo do lado esquerdo:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Calcule a integral do lado direito:
Portanto
Isolando
:
Passo 6
Determinar a constante de integração usando a condição inicial e escrever a solução explícita.
Usamos
. Substituindo
:
Então
Portanto a solução final é
Explicação em palavras: a solução tem um termo linear
que vem da entrada contínua de sal, e um termo decrescente
que ajusta a condição inicial de zero sal no tanque.
Passo 7
Calcular a quantidade de sal no instante do transbordamento
minutos.
Substituímos
na solução:
Compute passo a passo:
Logo
Interpretação: no momento do transbordamento há
kg de sal misturados nos
litros.
Resposta
(a)
minutos
horas
(b)
(c) kg
(b)
(c)