{ }^{a} Questão. ( \mathbf{2 , 5} pts) Um tanque, com capacidade de 1000 litros, contém inicialmente 400 litros de água limpa. Entra no tanque, a uma taxa de 3 litros por minuto, água contendo 1 kg de sal por litro. A mistura sai do tanque a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) Encontre o tempo de transbordamento do tanque;
(b) Encontre a equação diferencial para a quantidade de sal no tanque. Monte o problema de valor inicial pertinente;
(c) Qual a quantidade de sal no instante do transbordamento?

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá os seguintes dados.
Perguntas:
  1. (a) Encontrar o tempo de transbordamento do tanque.
  2. (b) Encontrar a equação diferencial para a quantidade de sal no tanque e montar o problema de valor inicial pertinente.
  3. (c) Calcular a quantidade de sal no instante do transbordamento.
Dados fornecidos:
  • Capacidade do tanque: \,1000 litros.
  • Volume inicial no tanque: \,400 litros.
  • Vazão de entrada: \,3 litros/minuto.
  • Concentração do sal na água que entra: \,1 kg/litro.
  • Vazão de saída: \,2 litros/minuto.
  • Mistura no tanque é homogênea (ou seja, concentração instantânea no tanque é \dfrac{\text{massa de sal no tanque}}{\text{volume no tanque}}).
Observação importante: não há informação adicional (por exemplo variação de vazões no tempo), então assumimos vazões constantes como dadas.

Passo 2

Calcular a evolução do volume do líquido no tanque e o tempo de transbordamento.
Definimos \,V(t) como o volume (em litros) no tanque no instante t (em minutos), com t=0 sendo o instante inicial. A taxa de variação do volume é a entrada menos a saída:
\frac{dV}{dt}=\text{vazão entrada}-\text{vazão saída}=3-2=1\quad(\text{L/min}).ããí
Isto é uma equação diferencial simples para V(t). Integramos sabendo que V(0)=400:
V(t)=400+\int_{0}^{t}1\,ds=400+t.
O transbordamento ocorre quando V(t)=1000. Portanto achamos o tempo t^* tal que
400+t^*=1000.
Resolvendo:
t^*=1000-400=600\quad\text{minutos}.
Comentário didático rápido: aqui fomos direta e corretamente porque as vazões são constantes; a taxa líquida de enchimento é \,1 L/min, então demora 600 minutos para acrescentar os 600 litros que faltavam.

Passo 3

Definir a variável de interesse para o sal e montar a equação de balanço.
Seja \,S(t) a quantidade de sal no tanque em quilogramas no instante t. Queremos uma equação para \dfrac{dS}{dt} baseada em taxas de entrada e saída de sal.
  • Taxa de entrada de sal: a água que entra tem concentração \,1 kg/L e entra a \,3 L/min, logo a massa de sal entrando por minuto é
\text{entrada de sal} = 3\cdot 1 = 3\quad(\text{kg/min}).
Isto é constante.
  • Taxa de saída de sal: a água que sai leva a concentração atual do tanque. A concentração instantânea no tanque é \dfrac{S(t)}{V(t)} kg/L. Como a vazão de saída é \,2 L/min, a massa de sal saindo por minuto é
\text{saída de sal} = 2\cdot \frac{S(t)}{V(t)}.í
Assim o balanço (entrada menos saída) dá a equação diferencial:
\frac{dS}{dt}=\;3\;-\;2\cdot\frac{S(t)}{V(t)}.
Como já achamos V(t)=400+t, substituímos:
\frac{dS}{dt}=3-\frac{2\,S(t)}{400+t}.
Condição inicial: inicialmente a água é limpa, então S(0)=0.
Portanto o problema de valor inicial é
\frac{dS}{dt}=3-\frac{2S}{400+t},\qquad S(0)=0.

Passo 4

Identificar o tipo de equação e escolher o método de solução (explicação didática).
A equação
\frac{dS}{dt}+\frac{2}{400+t}\,S=3
é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão
\frac{dS}{dt}+p(t)S=q(t),
com p(t)=\dfrac{2}{400+t} e q(t)=3.
Método apropriado: fator integrante (integrating factor). Ideia do fator integrante: multiplicando a equação por uma função \mu(t) escolhida de modo que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)S(t)\big). Esse \mu(t) é dado por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Aqui p(t)=\dfrac{2}{400+t}, então vamos calcular \mu(t).

Passo 5

Calcular o fator integrante e aplicar integração.
Calculemos o integral de p(t):
\int p(t)\,dt=\int \frac{2}{400+t}\,dt=2\ln(400+t)+C.
Podemos escolher C=0 para o fator integrante (constante multiplicativa não importa), então
\mu(t)=\exp\big(2\ln(400+t)\big)=(400+t)^2.
Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos:
(400+t)^2\frac{dS}{dt}+ (400+t)^2\frac{2}{400+t}S=3(400+t)^2.
Simplificando o segundo termo do lado esquerdo:
(400+t)^2\frac{dS}{dt}+2(400+t)S=3(400+t)^2.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\frac{d}{dt}\Big( S(t)\,(400+t)^2\Big)=3(400+t)^2.
Agora integramos ambos os lados em relação a t:
S(t)\,(400+t)^2=\int 3(400+t)^2\,dt + C.
Calcule a integral do lado direito:
\int 3(400+t)^2\,dt = 3\cdot \frac{(400+t)^3}{3} = (400+t)^3.
Portanto
S(t)\,(400+t)^2=(400+t)^3+C.
Isolando S(t):
S(t)=(400+t)+\frac{C}{(400+t)^2}.

Passo 6

Determinar a constante de integração usando a condição inicial e escrever a solução explícita.
Usamos S(0)=0. Substituindo t=0:
0 = S(0)=400+\frac{C}{400^2}.
Então
\frac{C}{400^2}=-400 \quad\Rightarrow\quad C=-400^3.
Portanto a solução final é
S(t)=(400+t)-\frac{400^3}{(400+t)^2}.
Explicação em palavras: a solução tem um termo linear (400+t) que vem da entrada contínua de sal, e um termo decrescente -\dfrac{400^3}{(400+t)^2} que ajusta a condição inicial de zero sal no tanque.

Passo 7

Calcular a quantidade de sal no instante do transbordamento t^*=600 minutos.
Substituímos t=600 na solução:
S(600)= (400+600)-\frac{400^3}{(400+600)^2}.
Compute passo a passo:
400+600=1000,
400^3 = 400\cdot400\cdot400 = 64\,000\,000,
(400+600)^2 = 1000^2 = 1\,000\,000,
\frac{400^3}{1000^2}=\frac{64\,000\,000}{1\,000\,000}=64.
Logo
S(600)=1000-64=936\quad(\text{kg}).
Interpretação: no momento do transbordamento há 936 kg de sal misturados nos 1000 litros.

Resposta

(a) \,600 minutos \;(=10 horas )
(b) \displaystyle \frac{dS}{dt}=3-\frac{2S}{400+t},\quad S(0)=0
(c) \,S(600)=936 kg

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