O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária
2y''-4y'+2y=\frac{e^{t}}{t^{2}+1}.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
A EDO é de segunda ordem, linear, com coeficientes constantes e termo fonte (não homogêneo) g(t)=\dfrac{e^{t}}{t^{2}+1}.
Não foram dadas condições iniciais, então devemos encontrar a solução geral y(t), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
2y''-4y'+2y=0.
Para EDO com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rt} e obtemos
2r^{2}-4r+2=0.
Dividindo por 2 dá
r^{2}-2r+1=0,
que é um quadrado perfeito:
(r-1)^{2}=0.
Logo temos raiz dupla r=1. Para raiz real dupla r as duas soluções fundamentais da homogênea são
y_{1}(t)=e^{t},\qquad y_{2}(t)=t e^{t}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}t e^{t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para encontrar uma solução particular usaremos o método da variação de parâmetros (é apropriado porque o lado direito \dfrac{e^{t}}{t^{2}+1} não é um polinômio/exponencial/trigonométrico simples que permita coeficientes indeterminados facilmente). Preciso do Wronskiano das soluções fundamentais:
Calculando as derivadas: y_{1}'=e^{t} e y_{2}'=(1+t)e^{t}. Então
W(t)=e^{t}\cdot(1+t)e^{t}-e^{t}\cdot t e^{t}=e^{2t}[(1+t)-t]=e^{2t}.
Passo 4
Recordando a variação de parâmetros para a equação na forma a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=g(t)\) (aqui \(a_{2}=2\)), procuramos uma particular na forma
\[y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t).
Impondo a condição auxiliar usual u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0 (isso simplifica o sistema), obtemos o sistema linear para u_{1}' e u_{2}':
Ao procurar uma solução particular podemos escolher as constantes de integração iguais a zero, pois constantes seriam absorvidas pela solução homogênea.
Passo 7
Montamos a solução particular
y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t).
Substituindo:
y_{p}(t)=-\frac{1}{4}\ln(t^{2}+1)\,e^{t}+\frac{1}{2}\arctan(t)\cdot t e^{t}.