(30 pontos) Encontre a solução da EDO abaixo:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{-1}+t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial ordinária
y'' + 2y' + y = e^{-1} + t.
Informações dadas:
\text{EDO: } y'' + 2y' + y = e^{-1} + t,
onde y é função de t. Não há condições iniciais fornecidas, logo queremos a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada. A homogênea é
y'' + 2y' + y = 0.
Para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica:
r^{2}+2r+1=0.
Resolvendo a quadrática:
r^{2}+2r+1=(r+1)^{2}=0,
portanto há uma raiz dupla r=-1.

Passo 3

Quando a equação característica tem uma raiz real dupla r=-1, as duas soluções independentes da homogênea são e^{-t} e t e^{-t}. Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}(t) = C_{1}e^{-t} + C_{2} t e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Intuição rápida: raiz simples dá e^{rt}; raiz dupla dá e^{rt} e t e^{rt}.)

Passo 4

Agora vamos achar uma solução particular y_{p} para a parte não-homogênea. O lado direito é a soma de uma constante e^{-1} e um polinômio de grau 1 (o termo t). Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos um polinômio de grau 1 como candidato:
y_{p}(t)=a + b t,
onde a e b são constantes a determinar. Antes de aplicar, verificamos ressonância: se 0 fosse raiz da característica, teríamos que multiplicar por uma potência de t. Aqui a raiz da característica é -1, não 0, então não há ressonância com polinômios e o ensaio a+bt é apropriado.

Passo 5

Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(t)=b,
y_{p}''(t)=0.
Substituímos na EDO:
y_{p}'' + 2y_{p}' + y_{p} = 0 + 2b + (a + bt) = (a + 2b) + b t.
Queremos que isso seja igual ao lado direito:
e^{-1} + t.
Portanto igualando coeficientes do polinômio em t, obtemos o sistema:
coeficiente de t: \;b = 1,
termo constante: \;a + 2b = e^{-1}.

Passo 6

Resolvendo o sistema: de b=1 e substituindo na equação constante,
a + 2\cdot 1 = e^{-1}\quad\Rightarrow\quad a = e^{-1} - 2.
Logo a solução particular é
y_{p}(t)=e^{-1}-2 + t.

Passo 7

A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t) = C_{1}e^{-t} + C_{2} t e^{-t} + e^{-1} - 2 + t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}t e^{-t}+e^{-1}-2+t

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