(30 pontos) Encontre a solução da EDO abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial ordinária
Informações dadas:
onde
é função de
. Não há condições iniciais fornecidas, logo queremos a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada. A homogênea é
Para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica:
Resolvendo a quadrática:
portanto há uma raiz dupla
.
Passo 3
Quando a equação característica tem uma raiz real dupla
, as duas soluções independentes da homogênea são
e
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Intuição rápida: raiz simples dá
; raiz dupla dá
e
.)
Passo 4
Agora vamos achar uma solução particular
para a parte não-homogênea. O lado direito é a soma de uma constante
e um polinômio de grau
(o termo
). Pelo método dos coeficientes a determinar, tentamos um polinômio de grau 1 como candidato:
onde
e
são constantes a determinar. Antes de aplicar, verificamos ressonância: se
fosse raiz da característica, teríamos que multiplicar por uma potência de
. Aqui a raiz da característica é
, não
, então não há ressonância com polinômios e o ensaio
é apropriado.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na EDO:
Queremos que isso seja igual ao lado direito:
Portanto igualando coeficientes do polinômio em
, obtemos o sistema:
coeficiente de :
,
termo constante: .
coeficiente de
termo constante:
Passo 6
Resolvendo o sistema: de
e substituindo na equação constante,
Logo a solução particular é
Passo 7
A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.