Questão 2(\mathbf{2 , 5}) :
Utilize o Teorema de Convolução para mostrar que
\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{2}{s\left(s^{2}+4\right)}\right]=\frac{1-\cos (2 t)}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de
\frac{2}{s\left(s^{2}+4\right)}
usando o Teorema de Convolução. Em outras palavras, precisamos encontrar uma função h(t) tal que
\mathscr{L}\{h(t)\}=\frac{2}{s\left(s^{2}+4\right)}
e mostrar que o resultado é \dfrac{1-\cos(2t)}{2}.
As informações importantes dadas pelo enunciado são:
  • O símbolo \mathscr{L}^{-1}[\cdot] indica a transformada inversa de Laplace.
  • A expressão no domínio de s é \dfrac{2}{s\left(s^{2}+4\right)}.
  • Deve-se usar o Teorema de Convolução (ou seja, escrever essa expressão como produto de duas transformadas conhecidas e então fazer a convolução das correspondentes funções-tempo).

Passo 2

Vou lembrar (e explicar) o que diz o Teorema de Convolução e quais pares de Laplace vamos usar.
Teorema de Convolução (versão que vamos usar):
\text{Se } \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s)\text{ e } \mathscr{L}\{g(t)\}=G(s), \text{ então } \mathscr{L}\{(f*g)(t)\}=F(s)G(s),ã
onde a convolução (f*g)(t) é definida por
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Interpretando: o produto de transformadas F(s)G(s) corresponde à transformada da convolução no tempo.
Pares de Laplace que vamos usar (explicando cada um):
  • A transformada de Laplace da constante 1 é
\mathscr{L}\{1\}=\frac{1}{s}.
Isto significa que \mathscr{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
  • A transformada de Laplace da função \sin(at) é
\mathscr{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Para a=2 obtemos
\mathscr{L}\{\sin(2t)\}=\frac{2}{s^{2}+4},
logo
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+4}\right\}=\frac{1}{2}\sin(2t),
pois dividindo ambos os lados por 2 ajustamos o coeficiente.

Passo 3

Agora escrevemos a função no domínio de s como produto de duas transformadas conhecidas. Observe que
\frac{2}{s\left(s^{2}+4\right)}=\left(\frac{2}{s}\right)\left(\frac{1}{s^{2}+4}\right).
Pense em F(s)=\dfrac{2}{s} e G(s)=\dfrac{1}{s^{2}+4}. Pelo Teorema de Convolução, a inversa \mathscr{L}^{-1} desse produto é a convolução das inversas de F(s) e G(s).

Passo 4

Achar as inversas individuais:
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{s}\right\}=2
e
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+4}\right\}=\frac{1}{2}\sin(2t).
Denotando f(t)=2 e g(t)=\dfrac{1}{2}\sin(2t), temos que a função buscada é
h(t)=(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.

Passo 5

Calcular explicitamente a convolução. Substituindo f(\tau)=2 e g(t-\tau)=\dfrac{1}{2}\sin\big(2(t-\tau)\big) na integral:
h(t)=\int_{0}^{t} 2\cdot\frac{1}{2}\sin\big(2(t-\tau)\big)\,d\tau =\int_{0}^{t} \sin\big(2(t-\tau)\big)\,d\tau.
Repare que a constante 2 e o \dfrac{1}{2} se cancelam.

Passo 6

Simplificar e resolver a integral. É conveniente fazer a substituição x=t-\tau. Quando \tau=0 temos x=t. Quando \tau=t temos x=0. Além disso d\tau=-dx. Portanto
h(t)=\int_{\tau=0}^{\tau=t} \sin\big(2(t-\tau)\big)\,d\tau =\int_{x=t}^{x=0} \sin(2x)\,(-dx) =\int_{0}^{t} \sin(2x)\,dx.
Agora integramos \sin(2x):
\int \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)+C.
Aplicando os limites de 0 a t:
h(t)=\left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_{0}^{t} =-\frac{1}{2}\cos(2t)+\frac{1}{2}\cos(0).
Como \cos(0)=1, isso dá
h(t)=\frac{1}{2}\big(1-\cos(2t)\big).

Passo 7

Concluímos que a transformada inversa procurada é exatamente
\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{2}{s\left(s^{2}+4\right)}\right]=\frac{1-\cos(2t)}{2}.
Uma pequena verificação rápida: para t=0 a expressão dá 0, coerente com a convolução de funções que têm valor finito em 0.

Resposta

\dfrac{1-\cos(2t)}{2}

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