Questão
:
Utilize o Teorema de Convolução para mostrar que
Utilize o Teorema de Convolução para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada inversa de
usando o Teorema de Convolução. Em outras palavras, precisamos encontrar uma função
tal que
e mostrar que o resultado é
.
As informações importantes dadas pelo enunciado são:
- O símbolo
indica a transformada inversa de Laplace. - A expressão no domínio de
é . - Deve-se usar o Teorema de Convolução (ou seja, escrever essa expressão como produto de duas transformadas conhecidas e então fazer a convolução das correspondentes funções-tempo).
Passo 2
Vou lembrar (e explicar) o que diz o Teorema de Convolução e quais pares de Laplace vamos usar.
Teorema de Convolução (versão que vamos usar):
onde a convolução
é definida por
Interpretando: o produto de transformadas
corresponde à transformada da convolução no tempo.
Pares de Laplace que vamos usar (explicando cada um):
- A transformada de Laplace da constante
é
Isto significa que
.
- A transformada de Laplace da função
é
Para
obtemos
logo
pois dividindo ambos os lados por
ajustamos o coeficiente.
Passo 3
Agora escrevemos a função no domínio de
como produto de duas transformadas conhecidas. Observe que
Pense em
e
. Pelo Teorema de Convolução, a inversa
desse produto é a convolução das inversas de
e
.
Passo 4
Achar as inversas individuais:
e
Denotando
e
, temos que a função buscada é
Passo 5
Calcular explicitamente a convolução. Substituindo
e
na integral:
Repare que a constante
e o
se cancelam.
Passo 6
Simplificar e resolver a integral. É conveniente fazer a substituição
. Quando
temos
. Quando
temos
. Além disso
. Portanto
Agora integramos
:
Aplicando os limites de
a
:
Como
, isso dá
Passo 7
Concluímos que a transformada inversa procurada é exatamente
Uma pequena verificação rápida: para
a expressão dá
, coerente com a convolução de funções que têm valor finito em
.