Questão
: Encontre a solução do PVI utilizando transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) com as seguintes informações:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica em
. Antes de aplicar, lembro os pontos essenciais (com explicações breves e intuitivas):
- Definição da transformada de Laplace de uma função
:
Isto converte uma função de
em uma função de
.
- Propriedade de linearidade:
. Isso permite transformar termo a termo. - Transformadas úteis:
- Transformada de derivadas (derivam-se por integração por partes; aqui está o resultado e uma rápida explicação):
- Para
:
onde . - Para
:
- Para
Essas fórmulas são essenciais porque transformam derivadas em polinômios em
multiplicando
, reduzindo a EDO a uma equação algébrica.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação dada. Denotando
, usamos as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
,
.
Transformada da esquerda:
Substituindo
e
:
Transformada do lado direito (
constante):
Passo 4
Juntando os termos obtemos a equação algébrica em
:
Agrupando
:
Isolando
:
Colocando no mesmo numerador:
Fatorando o polinômio quadrático:
Logo
Passo 5
Agora vamos decompor
em frações parciais do tipo conhecido para poder inverter a transformada facilmente. Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
:
Como os denominadores são fatores lineares distintos, é prático avaliar em valores que anulam fatores:
- Para
: - Para
: - Para
:
Portanto
Passo 6
Invertemos a transformada termo a termo usando
e
. Assim,
Escrevendo de forma clara:
Passo 7
Checagem rápida das condições iniciais (para ter confiança no resultado):
-
OK. - Derivando
: . Então OK.
As condições iniciais são satisfeitas, então a solução encontrada está consistente.