Questão 6. (a)
Enuncie o critério de Eisenstein.
(b)
Verifique se os polinômios
e
são irredutíveis sobre
. Justifique sua resposta.
(b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Enunciar o critério de Eisenstein.
- (b) Verificar se os polinômios
e são irredutíveis sobre . Ou seja, dizer se cada um pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor com coeficientes racionais, e justificar.
As informações dadas são exatamente os dois polinômios acima; não há outras hipóteses.
Passo 2
Vou enunciar cuidadosamente o critério de Eisenstein (resposta da parte (a)) e explicar cada hipótese, de modo que você entenda como e por que usá-lo na prova.
Enunciado do critério de Eisenstein:
Seja
Seja
com
então
.
Explicação das hipóteses:
-
: o primo não divide o coeficiente líder; isto evita divisões triviais por . -
para : todos os coeficientes, exceto o líder, são múltiplos de . Note que o zero é múltiplo de , então polinômios com coeficientes intermediários nulos também se enquadram. -
: o termo constante não é múltiplo de ; essa condição impede que um fator comum elevado tire a propriedade de irreduzibilidade.
Observação prática: muitas vezes aplica-se Eisenstein após uma translação
para ajustar coeficientes e fazer com que um primo satisfaça as hipóteses.
Motivação curta (sem prova completa): o critério usa redução módulo
e propriedades de divisibilidade em
para impedir que um fator não-trivial exista em
; pela Lema de Gauss, irreducibilidade em
implica irreducibilidade em
.]
Passo 3
Agora vamos atacar a parte (b). Primeiro, analisar
.
Estratégia: tentar o Teste da Raiz Racional (Teorema do Raiz Racional) para ver se existe raiz racional simples. O teorema diz: se
(em forma reduzida) é raiz de um polinômio em
com coeficiente líder
e termo constante
, então
divide
e
divide
. Assim as possíveis raízes racionais são da forma divisor de
dividido por divisor de
.
No nosso caso,
e
. Portanto as possíveis raízes racionais são
divisores de
sobre divisores de
(isto inclui
e frações como
etc.). Testar
é sempre uma boa tentativa simples.
Passo 4
Calcular
:
Agora os termos somam:
Agrupando:
Portanto
. Conclusão imediata:
é um fator de
em
(na verdade em
).
Isto já mostra que
é reduzível (não é irreduzível) sobre
. Mas para sermos completos, vamos dividir
por
e obter o quociente explícito.
Passo 5
Divisão sintética (ou divisão polinomial) de
por
:
Coeficientes de
:
.
Aplicando divisão sintética com raiz
:
- Trago
. - Multiplico por
: . Somo a : resultado . - Multiplico
por : . Somo a : . - Multiplico
por : . Somo a : . - Multiplico
por : . Somo a : . - Multiplico
por : . Somo a : (resto zero, como esperado).
Assim o quociente é o polinômio de grau 4 cujos coeficientes são
, ou seja
Portanto
é redu zível. (Para a prova da prova, poder-se-ia ainda investigar se o fator quartico se decompõe mais, mas isso não é necessário para afirmar que
não é irreducível.)
Passo 6
Agora analisar
.
Estratégia: observar que todos os coeficientes, exceto o líder
e o termo constante
, são zero — e zero é múltiplo de qualquer primo. Então frequentemente podemos aplicar diretamente o critério de Eisenstein com algum primo divisor de
.
Escolhemos
(poderíamos escolher
também). Verificações:
-
coeficiente líder: é verdadeiro. -
divide todos os outros coeficientes : de fato , e é divisível por ; o termo constante é divisível por pois . -
: não divide .
Assim todas as hipóteses do critério de Eisenstein (com
) são satisfeitas. Pelo critério,
é irreduzível em
.
Comentário extra (didático): a hipótese de que zeros são múltiplos de
vale; a condição
garante que não há fator comum quadrático escondido. Pela Lema de Gauss, como
é primitivo e irreduzível em
(Eisenstein prova irreducibilidade em
), segue irreduzibilidade em
.
Resposta
(a) Seja
com
. Se existe primo
tal que
,
para todo
e
, então
é irreduzível em
.
(b)
é redu zível em
; de fato