Questão 6. (a) (0,5) Enuncie o critério de Eisenstein.
(b) (1,0) Verifique se os polinômios 12 x^{5}-5 x^{4}+10 x^{3}-10 x^{2}+5 x-12 e x^{100}-15 são irredutíveis sobre \mathbb{Q}[x]. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Enunciar o critério de Eisenstein.
  • (b) Verificar se os polinômios f(x)=12x^{5}-5x^{4}+10x^{3}-10x^{2}+5x-12e g(x)=x^{100}-15são irredutíveis sobre \mathbb{Q}[x]. Ou seja, dizer se cada um pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor com coeficientes racionais, e justificar.
As informações dadas são exatamente os dois polinômios acima; não há outras hipóteses.

Passo 2

Vou enunciar cuidadosamente o critério de Eisenstein (resposta da parte (a)) e explicar cada hipótese, de modo que você entenda como e por que usá-lo na prova.
Enunciado do critério de Eisenstein:
Seja
f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1 x + a_0\in\mathbb{Z}[x],
com a_n\neq 0\). Se existe um primo \(p\) tal que \[\begin{cases} p \nmid a_n,\\[4pt] p \mid a_{i}\\ \text{para todo } i=0,1,\dots,n-1,\\[4pt] p^2 \nmid a_0, \end{cases}
então f(x)\] é irreduzível em \(\mathbb{Q}[x].
Explicação das hipóteses:
  • p\nmid a_n: o primo p não divide o coeficiente líder; isto evita divisões triviais por p.
  • p\mid a_i para i=0,\dots,n-1: todos os coeficientes, exceto o líder, são múltiplos de p. Note que o zero é múltiplo de p, então polinômios com coeficientes intermediários nulos também se enquadram.
  • p^2\nmid a_0: o termo constante não é múltiplo de p^2; essa condição impede que um fator comum elevado tire a propriedade de irreduzibilidade.
Observação prática: muitas vezes aplica-se Eisenstein após uma translação x\mapsto x+c para ajustar coeficientes e fazer com que um primo satisfaça as hipóteses.
Motivação curta (sem prova completa): o critério usa redução módulo p e propriedades de divisibilidade em \mathbb{Z} para impedir que um fator não-trivial exista em \mathbb{Z}[x]; pela Lema de Gauss, irreducibilidade em \mathbb{Z}[x] implica irreducibilidade em \mathbb{Q}[x].]

Passo 3

Agora vamos atacar a parte (b). Primeiro, analisar f(x)=12x^{5}-5x^{4}+10x^{3}-10x^{2}+5x-12.
Estratégia: tentar o Teste da Raiz Racional (Teorema do Raiz Racional) para ver se existe raiz racional simples. O teorema diz: se \dfrac{p}{q} (em forma reduzida) é raiz de um polinômio em \mathbb{Z}[x] com coeficiente líder a_n e termo constante a_0, então p divide a_0 e q divide a_n. Assim as possíveis raízes racionais são da forma divisor de a_0 dividido por divisor de a_n.
No nosso caso, a_n=12 e a_0=-12. Portanto as possíveis raízes racionais são \pm divisores de 12 sobre divisores de 12 (isto inclui \pm 1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 e frações como \pm 1/2,\pm3/4 etc.). Testar x=1 é sempre uma boa tentativa simples.

Passo 4

Calcular f(1):
f(1)=12\cdot1^{5}-5\cdot1^{4}+10\cdot1^{3}-10\cdot1^{2}+5\cdot1-12.
Agora os termos somam:
f(1)=12-5+10-10+5-12.
Agrupando:
12-12 + (-5+5) + (10-10) = 0.
Portanto f(1)=0. Conclusão imediata: x-1 é um fator de f(x) em \mathbb{Q}[x] (na verdade em \mathbb{Z}[x]).
Isto já mostra que f(x) é reduzível (não é irreduzível) sobre \mathbb{Q}[x]. Mas para sermos completos, vamos dividir f por x-1 e obter o quociente explícito.

Passo 5

Divisão sintética (ou divisão polinomial) de f(x) por x-1:
Coeficientes de f: 12,\\\ -5,\\\ 10,\\\ -10,\\\ 5,\\\ -12.
Aplicando divisão sintética com raiz 1:
  • Trago 12.
  • Multiplico por 1: 12. Somo a -5: resultado 7.
  • Multiplico 7 por 1: 7. Somo a 10: 17.
  • Multiplico 17 por 1: 17. Somo a -10: 7.
  • Multiplico 7 por 1: 7. Somo a 5: 12.
  • Multiplico 12 por 1: 12. Somo a -12: 0 (resto zero, como esperado).
Assim o quociente é o polinômio de grau 4 cujos coeficientes são 12,7,17,7,12, ou seja
f(x)=(x-1)\bigl(12x^{4}+7x^{3}+17x^{2}+7x+12\bigr).
Portanto f é redu zível. (Para a prova da prova, poder-se-ia ainda investigar se o fator quartico se decompõe mais, mas isso não é necessário para afirmar que f não é irreducível.)

Passo 6

Agora analisar g(x)=x^{100}-15.
Estratégia: observar que todos os coeficientes, exceto o líder 1 e o termo constante -15, são zero — e zero é múltiplo de qualquer primo. Então frequentemente podemos aplicar diretamente o critério de Eisenstein com algum primo divisor de -15.
Escolhemos p=3 (poderíamos escolher p=5 também). Verificações:
  • p\nmid coeficiente líder: 3\nmid 1 é verdadeiro.
  • p divide todos os outros coeficientes a_{99},\dots,a_1,a_0: de fato a_{99}=\cdots=a_1=0, e 0 é divisível por 3; o termo constante a_0=-15 é divisível por 3 pois -15=3\cdot(-5).
  • p^2=9\nmid a_0: 9 não divide -15.
Assim todas as hipóteses do critério de Eisenstein (com p=3) são satisfeitas. Pelo critério, g(x) é irreduzível em \mathbb{Q}[x].
Comentário extra (didático): a hipótese de que zeros são múltiplos de p vale; a condição p^2\nmid a_0 garante que não há fator comum quadrático escondido. Pela Lema de Gauss, como g é primitivo e irreduzível em \mathbb{Z}[x] (Eisenstein prova irreducibilidade em \mathbb{Z}[x]), segue irreduzibilidade em \mathbb{Q}[x].

Resposta

(a) Seja f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0\in\mathbb{Z}[x] com a_n\neq0. Se existe primo p tal que p\nmid a_n, p\mid a_i para todo i=0,\dots,n-1 e p^2\nmid a_0, então f é irreduzível em \mathbb{Q}[x].
(b) 12x^{5}-5x^{4}+10x^{3}-10x^{2}+5x-12 é redu zível em \mathbb{Q}[x]; de fato
12x^{5}-5x^{4}+10x^{3}-10x^{2}+5x-12=(x-1)\bigl(12x^{4}+7x^{3}+17x^{2}+7x+12\bigr).
x^{100}-15 é irreduzível em \mathbb{Q}[x] (critério de Eisenstein com p=3).

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