Questão 2(\mathbf{2 , 0}) : Utilize o Teste da Integral para verificar se a série abaixo é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando o Teste da Integral, se a série
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}
é convergente ou divergente. As informações dadas são:
  • Os termos da série são a_n = n e^{-n} para n=1,2,3,\dots.
  • Precisa-se aplicar o Teste da Integral (logo vou trabalhar com uma função f(x) tal que f(n)=a_n).

Passo 2

Vou lembrar o que diz o Teste da Integral e o que é preciso checar para poder usá-lo.
O Teste da Integral (versão útil aqui) afirma o seguinte.
Seja f:(1,\infty)\to\mathbb{R} tal que:
  1. f é contínua em [1,\infty),
  2. f(x)\ge 0 para todo x\ge1,
  3. f é monotonicamente decrescente em [1,\infty),
e defina a_n=f(n). Então as duas afirmações são equivalentes:
  • A série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (i.e., tem valor finito).
  • Se \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx diverge, então a série diverge.
Explicando de forma bem direta: compara-se a soma dos termos a_n com a “área” sob a curva f(x). Se essa área for finita, a soma das “caixinhas” a_n também é finita; se a área for infinita, a soma também é infinita. Para usar o teste, preciso escolher f(x) apropriada e verificar as três condições acima.

Passo 3

Escolho a função
f(x)=x e^{-x},\qquad x\ge1,
porque f(n)=n e^{-n}=a_n.
Agora verifico as condições do Teste da Integral:
  1. Continuidade: f(x)=x e^{-x} é produto de funções contínuas em [1,\infty), logo é contínua ali.
  2. Sinal não-negativo: para x\ge1, temos x>0 e e^{-x}>0, então f(x)>0. Portanto f(x)\ge0 em [1,\infty).
  3. Monotonicidade decrescente: calculo a derivada de f. Usando regra do produto,
f'(x) = \frac{d}{dx}\big(x\big)\,e^{-x} + x\,\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big) = 1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}(1-x).
Para x\ge1 temos 1-x\le0 e e^{-x}>0, logo f'(x)\le0. Em particular para x>1 temos f'(x)<0. Assim f é decrescente em [1,\infty).
Como as três condições estão satisfeitas, posso aplicar o Teste da Integral à série.

Passo 4

Calculo a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x e^{-x}\,dx.
Faço por integração por partes. Escolho
u=x,\qquad dv=e^{-x}\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
A fórmula da integração por partes diz \int u\,dv = uv - \int v\,du. Assim,
\int x e^{-x}\,dx = u v - \int v\,du = -x e^{-x} - \int (-e^{-x})\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.
Calculando a última integral,
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x},
portanto uma primitiva é
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C.
Agora avalio o limite impróprio:
\int_{1}^{\infty} x e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty} \Big[ -(x+1)e^{-x}\Big]_{x=1}^{x=b} = \lim_{b\to\infty}\big( -(b+1)e^{-b} + (1+1)e^{-1}\big).
Observe que \lim_{b\to\infty} (b+1)e^{-b}=0 porque a exponencial decresce muito mais rápido que o crescimento linear (pode-se ver por regra de L’Hôpital ou por conhecimento padrão). Assim o limite é
0 + 2e^{-1} = \frac{2}{e}.
Portanto a integral converge e tem valor finito \dfrac{2}{e}.

Passo 5

Pelo Teste da Integral, como \int_{1}^{\infty} x e^{-x}\,dx converge (valor finito), a série
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}
converge. Como todos os termos n e^{-n} são positivos, essa convergência é de séries de termos positivos (ou seja, converge absolutamente, embora aqui “absoluta” não adicione informação além de “convergente”, porque os termos já são positivos).
Dica extra rápida (útil na prova): se quiser saber o valor da soma da série, note que com r=e^{-1} vale a soma conhecida
\sum_{n=1}^{\infty} n r^n = \frac{r}{(1-r)^2}\quad\text{para }|r|<1.
Substituindo r=e^{-1} obtém-se o valor exato da soma, mas isso não era pedido — foi só para fixar a ideia.
Força aí, você já concluiu a parte mais difícil: verificar condições e calcular a integral.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n} é convergente.

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