Questão
: Utilize o Teste da Integral para verificar se a série abaixo é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando o Teste da Integral, se a série
é convergente ou divergente. As informações dadas são:
- Os termos da série são
para . - Precisa-se aplicar o Teste da Integral (logo vou trabalhar com uma função
tal que ).
Passo 2
Vou lembrar o que diz o Teste da Integral e o que é preciso checar para poder usá-lo.
O Teste da Integral (versão útil aqui) afirma o seguinte.
Seja tal que:
Seja
-
é contínua em , -
para todo , -
é monotonicamente decrescente em ,
e defina
. Então as duas afirmações são equivalentes:
- A série
converge se, e somente se, a integral imprópria converge (i.e., tem valor finito). - Se
diverge, então a série diverge.
Explicando de forma bem direta: compara-se a soma dos termos
com a “área” sob a curva
. Se essa área for finita, a soma das “caixinhas”
também é finita; se a área for infinita, a soma também é infinita. Para usar o teste, preciso escolher
apropriada e verificar as três condições acima.
Passo 3
Escolho a função
porque
.
Agora verifico as condições do Teste da Integral:
-
Continuidade:
é produto de funções contínuas em , logo é contínua ali. -
Sinal não-negativo: para
, temos e , então . Portanto em . -
Monotonicidade decrescente: calculo a derivada de
. Usando regra do produto,
Para
temos
e
, logo
. Em particular para
temos
. Assim
é decrescente em
.
Como as três condições estão satisfeitas, posso aplicar o Teste da Integral à série.
Passo 4
Calculo a integral imprópria
Faço por integração por partes. Escolho
Então
A fórmula da integração por partes diz
. Assim,
Calculando a última integral,
portanto uma primitiva é
Agora avalio o limite impróprio:
Observe que
porque a exponencial decresce muito mais rápido que o crescimento linear (pode-se ver por regra de L’Hôpital ou por conhecimento padrão). Assim o limite é
Portanto a integral converge e tem valor finito
.
Passo 5
Pelo Teste da Integral, como
converge (valor finito), a série
converge. Como todos os termos
são positivos, essa convergência é de séries de termos positivos (ou seja, converge absolutamente, embora aqui “absoluta” não adicione informação além de “convergente”, porque os termos já são positivos).
Dica extra rápida (útil na prova): se quiser saber o valor da soma da série, note que com
vale a soma conhecida
Substituindo
obtém-se o valor exato da soma, mas isso não era pedido — foi só para fixar a ideia.
Força aí, você já concluiu a parte mais difícil: verificar condições e calcular a integral.
Resposta
A série
é convergente.