Questão
: Considere
.
(a) Calcule
.
(b) Determine se a série
converge ou diverge.
(a) Calcule
(b) Determine se a série
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede duas coisas:
- (a) Calcular
. - (b) Determinar se a série
converge ou diverge.
Informações relevantes fornecidas:
- A definição explícita de
em termos de fatorial e potência. - A série considerada tem termos
, ou seja, aplica-se a função exponencial aos termos .
Passo 2
Entender a forma de
e reescrevê-la como produto:
Explicando: o fatorial
é o produto dos inteiros de
a
. O número
é o produto de
cópias de
. Dividindo termo a termo obtemos o produto acima, onde cada fator é
com
.
Passo 3
Observar que muitos fatores do produto são estritamente menores que
, e alguns são bastante pequenos. Em particular, para os primeiros cerca de metade dos
temos
. Mais formalmente: seja
a parte inteira de
. Para
existem pelo menos
valores de
com
, e para esses
Portanto, entre os
fatores do produto, pelo menos
deles são
.
Passo 4
Usar a observação anterior para obter uma desigualdade útil que “empurra”
para zero:
Explicando a ideia: os fatores maiores que
são
, então não aumentam o produto; os que são
garantem que o produto total é no máximo
.
Passo 5
Concluir o limite usando a desigualdade: como
quando
(uma potência com base
vai a zero), pelo princípio do confronto (também chamado de teorema do sanduíche quando aplicável) segue que
Comentário didático: esse é um argumento elementar e evita uso de fórmulas mais avançadas como a fórmula de Stirling; a ideia-chave é que
cresce bem mais devagar que
porque em
cada fator é o próprio
, enquanto em
muitos fatores são muito menores que
.
Passo 6
Agora analisar a série
. Primeiro, calcular o limite do termo geral
. Como a função exponencial
é contínua, podemos passar o limite pelo exponencial:
Explicando: continuidade significa que valores de entrada que ficam perto de
produzem saídas que ficam perto de
.
Passo 7
Aplicar o teste necessário para convergência de séries (teste da condição necessária): uma série numérica
só pode convergir se o termo geral
tender a
. Aqui os termos da série são
, e acabamos de ver que
. Logo a condição necessária para convergência falha, portanto a série diverge. Mais informal: somar infinitos termos que ficam próximos de
leva a soma que cresce sem limite.
Resposta
A série
diverge.