Questão 1(2,0) : Considere a_{n}=\frac{n!}{n^{n}}, n \geq 1.
(a) Calcule \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}.
(b) Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} e^{a_{n}} converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \,a_{n}=\dfrac{n!}{n^{n}},\; n\ge 1\, e pede duas coisas:
  • (a) Calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n.
  • (b) Determinar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} e^{a_n} converge ou diverge.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição explícita de a_n em termos de fatorial e potência.
  • A série considerada tem termos e^{a_n}, ou seja, aplica-se a função exponencial aos termos a_n.

Passo 2

Entender a forma de a_n e reescrevê-la como produto:
a_n=\frac{n!}{n^n}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{n\cdot n\cdot n\cdots n} =\prod_{k=1}^{n}\frac{k}{n}.
Explicando: o fatorial n! é o produto dos inteiros de 1 a n. O número n^n é o produto de n cópias de n. Dividindo termo a termo obtemos o produto acima, onde cada fator é \dfrac{k}{n} com k=1,\dots,n.

Passo 3

Observar que muitos fatores do produto são estritamente menores que 1, e alguns são bastante pequenos. Em particular, para os primeiros cerca de metade dos k temos \dfrac{k}{n}\le \dfrac{1}{2}. Mais formalmente: seja \lfloor x\rfloor a parte inteira de x. Para n\ge 2 existem pelo menos \lfloor n/2\rfloor valores de k com 1\le k\le \lfloor n/2\rfloor, e para esses k
\frac{k}{n}\le\frac{\lfloor n/2\rfloor}{n}\le\frac{1}{2}.
Portanto, entre os n fatores do produto, pelo menos \lfloor n/2\rfloor deles são \le \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Usar a observação anterior para obter uma desigualdade útil que “empurra” a_n para zero:
a_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\le\left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}\cdot 1^{\,\text{resto}} =\left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}.
Explicando a ideia: os fatores maiores que \tfrac{1}{2} são \le 1, então não aumentam o produto; os que são \le\tfrac{1}{2} garantem que o produto total é no máximo (1/2)^{\lfloor n/2\rfloor}.

Passo 5

Concluir o limite usando a desigualdade: como \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}\to 0 quando n\to\infty (uma potência com base <1 vai a zero), pelo princípio do confronto (também chamado de teorema do sanduíche quando aplicável) segue que
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Comentário didático: esse é um argumento elementar e evita uso de fórmulas mais avançadas como a fórmula de Stirling; a ideia-chave é que n! cresce bem mais devagar que n^n porque em n^n cada fator é o próprio n, enquanto em n! muitos fatores são muito menores que n.

Passo 6

Agora analisar a série \sum_{n=1}^{\infty} e^{a_n}. Primeiro, calcular o limite do termo geral e^{a_n}. Como a função exponencial x\mapsto e^{x} é contínua, podemos passar o limite pelo exponencial:
\lim_{n\to\infty} e^{a_n} = e^{\lim_{n\to\infty} a_n} = e^{0} = 1.
Explicando: continuidade significa que valores de entrada que ficam perto de 0 produzem saídas que ficam perto de e^{0}=1.

Passo 7

Aplicar o teste necessário para convergência de séries (teste da condição necessária): uma série numérica \sum b_n só pode convergir se o termo geral b_n tender a 0. Aqui os termos da série são b_n=e^{a_n}, e acabamos de ver que \lim_{n\to\infty} b_n =1\neq 0. Logo a condição necessária para convergência falha, portanto a série diverge. Mais informal: somar infinitos termos que ficam próximos de 1 leva a soma que cresce sem limite.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} e^{a_n} diverge.

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