Questão 5
Em
:
a) Calcule soma das raízes.
b) Calcule produto.
c) Confirme encontrando as raízes diretamente.
Objetivo:
- Relacionar coeficientes e raízes.
a) Calcule soma das raízes.
b) Calcule produto.
c) Confirme encontrando as raízes diretamente.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede três coisas:
- (a) Calcular a soma das raízes.
- (b) Calcular o produto das raízes.
- (c) Confirmar os itens anteriores encontrando as raízes diretamente.
Informações explícitas que temos:
- Coeficiente do termo
: . - Coeficiente do termo
: . - Termo independente:
.
Passo 2
Vamos entender a relação entre coeficientes e raízes (explicação pedagógica passo a passo).
Sejam
e
as raízes de um polinômio quadrático. Para um polinômio de segunda ordem com coeficiente principal
podemos escrever
Isso é verdade porque um polinômio quadrático se fatoriza pelos seus zeros (raízes). Agora vamos expandir o lado direito (faça mentalmente ou no rascunho):
Comparando termos com
obtemos as igualdades (conhecidas como fórmulas de Viète):
Explicando as variáveis:
é o coeficiente de
,
o de
(com sinal),
o termo independente;
e
são as raízes que estamos procurando. Essas fórmulas permitem obter soma e produto das raízes sem encontrá-las explicitamente.
Exemplo curto para fixar: para
temos
,
,
. Então
e
. De fato as raízes são
e
.
Passo 3
Aplicando as fórmulas de Viète ao polinômio dado (substituindo
,
,
):
Cálculo da soma:
Cálculo do produto:
Portanto, pela relação entre coeficientes e raízes já temos as respostas para (a) e (b).
Passo 4
Agora vamos confirmar encontrando as raízes diretamente — vamos tentar fatorar o polinômio porque os coeficientes são inteiros e costuma dar certo.
Procuramos dois números inteiros
e
tais que
Listando pares que multiplicam 21:
tem soma
;
tem soma
. Então escolhemos
e
. Assim o polinômio fatora como
Expandindo para conferir:
que de fato retorna o polinômio original. Portanto as raízes são
e
.
Passo 5
Alternativa (checagem extra): usar a fórmula quadrática para confirmar. A fórmula é
Substituindo
,
,
:
Isso dá
e
, confirmando novamente as raízes
e
.
Resposta
a)
b)
c) e
b)
c)