Questão 5

Em \mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-10 \mathrm{x}+21 :
a) Calcule soma das raízes.
b) Calcule produto.
c) Confirme encontrando as raízes diretamente.
Objetivo:
  • Relacionar coeficientes e raízes.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \mathrm{P}(x)=x^{2}-10x+21 e pede três coisas:
  • (a) Calcular a soma das raízes.
  • (b) Calcular o produto das raízes.
  • (c) Confirmar os itens anteriores encontrando as raízes diretamente.
Informações explícitas que temos:
  • Coeficiente do termo x^{2}: a=1.
  • Coeficiente do termo x: b=-10.
  • Termo independente: c=21.

Passo 2

Vamos entender a relação entre coeficientes e raízes (explicação pedagógica passo a passo).
Sejam \,r_{1} e \,r_{2} as raízes de um polinômio quadrático. Para um polinômio de segunda ordem com coeficiente principal a podemos escrever
a x^{2}+b x+c = a(x-r_{1})(x-r_{2}).
Isso é verdade porque um polinômio quadrático se fatoriza pelos seus zeros (raízes). Agora vamos expandir o lado direito (faça mentalmente ou no rascunho):
a(x-r_{1})(x-r_{2}) = a\big(x^{2}-(r_{1}+r_{2})x + r_{1}r_{2}\big).
Comparando termos com a x^{2}+b x+c obtemos as igualdades (conhecidas como fórmulas de Viète):
r_{1}+r_{2} = -\dfrac{b}{a}, \qquad r_{1}r_{2} = \dfrac{c}{a}.
Explicando as variáveis: a é o coeficiente de x^{2}, b o de x (com sinal), c o termo independente; r_{1} e r_{2} são as raízes que estamos procurando. Essas fórmulas permitem obter soma e produto das raízes sem encontrá-las explicitamente.
Exemplo curto para fixar: para x^{2}-3x+2 temos a=1, b=-3, c=2. Então r_{1}+r_{2}=-\dfrac{-3}{1}=3 e r_{1}r_{2}=\dfrac{2}{1}=2. De fato as raízes são 1 e 2.

Passo 3

Aplicando as fórmulas de Viète ao polinômio dado (substituindo a=1, b=-10, c=21):
Cálculo da soma:
r_{1}+r_{2} = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-10}{1} = 10.
Cálculo do produto:
r_{1}r_{2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{21}{1} = 21.
Portanto, pela relação entre coeficientes e raízes já temos as respostas para (a) e (b).

Passo 4

Agora vamos confirmar encontrando as raízes diretamente — vamos tentar fatorar o polinômio porque os coeficientes são inteiros e costuma dar certo.
Procuramos dois números inteiros p e q tais que
p+q = 10 \qquad\text{e}\qquad p\cdot q = 21.
Listando pares que multiplicam 21: (1,21) tem soma 22; (3,7) tem soma 10. Então escolhemos p=3 e q=7. Assim o polinômio fatora como
x^{2}-10x+21 = (x-3)(x-7).
Expandindo para conferir:
(x-3)(x-7) = x^{2}-7x-3x+21 = x^{2}-10x+21,
que de fato retorna o polinômio original. Portanto as raízes são x=3 e x=7.

Passo 5

Alternativa (checagem extra): usar a fórmula quadrática para confirmar. A fórmula é
x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Substituindo a=1, b=-10, c=21:
\Delta = b^{2}-4ac = (-10)^{2}-4\cdot1\cdot21 = 100-84 = 16,
x = \dfrac{-(-10)\pm\sqrt{16}}{2\cdot1} = \dfrac{10\pm4}{2}.
Isso dá x=\dfrac{10+4}{2}=7 e x=\dfrac{10-4}{2}=3, confirmando novamente as raízes 3 e 7.

Resposta

a) 10
b) 21
c) 3 e 7

Exercícios relacionados