Questão 3
Uma empresa modela o lucro por
. Zeros representam o ponto de equilíbrio.
a) Verifique pelo Teorema do Resto se
é raiz.
b) Encontre outro valor que zere o lucro.
c) Interprete no contexto.
Objetivo:
- Relacionar polinômios ao cotidiano.
a) Verifique pelo Teorema do Resto se
b) Encontre outro valor que zere o lucro.
c) Interprete no contexto.
Passo 1
O enunciado dá o lucro modelado por
e pede três coisas:
- (a) Verificar, usando o Teorema do Resto, se
é raiz de . - (b) Encontrar outro valor que zere o lucro (ou seja, um valor de
tal que ). - (c) Interpretar esse(s) zero(s) no contexto (o que significa para a empresa).
Informações relevantes dadas:
- A função polinomial é
. - “Zeros” da função representam pontos de equilíbrio (lucro zero).
Passo 2
Primeiro, o Teorema do Resto (também chamado Teorema do Valor) diz o seguinte de forma simples: ao dividir um polinômio
por
, o resto é
. Em particular,
é raiz de
se, e somente se,
.
Aplicando isso aqui com
: calcular
.
Calcule passo a passo:
Então
Como
, o resto da divisão por
é
e, pelo Teorema do Resto,
NÃO é raiz.
Passo 3
Agora queremos encontrar valores de
tais que
. Uma forma comum de começar é tentar o Teorema das Raízes Racionais: quaisquer raízes racionais da forma
têm
divisor do termo independente
e
divisor do coeficiente líder
. Assim, os candidatos racionais são
Vamos avaliar
nesses candidatos para ver se algum zera.
Calculemos alguns valores:
Nenhum dos candidatos racionais usuais
deu
; logo não há raiz racional entre esses simples candidatos.
Passo 4
Mesmo sem achar raízes racionais, podemos localizar intervalos onde há raiz real usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se
é contínua e toma sinais opostos em extremos de um intervalo, então existe uma raiz nesse intervalo.
Das avaliações anteiores observamos sinais:
logo existe pelo menos uma raiz em
.
Também
logo existe pelo menos uma raiz em
.
E
logo existe pelo menos uma raiz em
.
Como
é um polinômio de grau
com coeficiente líder positivo, conclui-se que há exatamente três raízes reais (uma em cada um desses intervalos): o polinômio muda de sinal em cada intervalo indicado.
Passo 5
Para encontrar valores numéricos das raízes vamos usar o método de Newton–Raphson (também chamado apenas de Newton): é um método iterativo rápido para aproximar raízes reais quando se tem um palpite inicial. A fórmula da iteração é
onde
é a derivada de
. Aqui
e
Explico rápido:
é a função cujo zero procuramos;
mostra a inclinação local; Newton usa a reta tangente em
para aproximar a interseção com o eixo
, e repete até convergir.
Vou aplicar Newton separadamente em cada intervalo onde garantimos a existência de uma raiz.
Passo 6
Raiz em
. Escolho
.
Calcule:
Aplicando Newton:
Próxima iteração:
A correção já é muito pequena; portanto uma boa aproximação para a raiz desse intervalo é
Passo 7
Raiz em
. Escolho
.
Calcule:
Newton:
Calculando mais uma iteração fornece
Portanto a raiz desse intervalo é aproximadamente
Passo 8
Raiz em
. Escolho
.
Calcule:
Newton:
Uma iteração adicional confirma convergência rápida; portanto a raiz nesse intervalo é aproximadamente
Passo 9
Resumo dos zeros encontrados (aproximações):
Interpretação no contexto da empresa:
- Cada zero de
é um ponto de equilíbrio (lucro zero): se for a quantidade vendida (ou outra medida de atividade), nesses valores a empresa não tem lucro nem prejuízo. - Como são três zeros reais, a empresa tem três pontos de equilíbrio (uma situação possível quando receitas e custos têm formas polinomiais complexas).
- Observando os sinais de
nas regiões: - Para
tem-se (prejuízo) — nesse caso valores negativos de podem não fazer sentido físico; talvez deva ser não negativo no problema real. - Para
tem-se (lucro). - Para
tem-se (prejuízo). - Para
tem-se (lucro).
- Para
- Em termos práticos: se
representa unidades vendidas, a empresa tem lucro para quantidades até cerca de unidades, entra em prejuízo para quantidades entre cerca de e unidades, e volta a ter lucro para quantidades acima de cerca de . Como quantidades físicas são inteiras ou escaladas (ex.: milhares), é preciso interpretar essas aproximações no contexto (arredondar, ou ver unidade de medida) para decisões reais.
Resposta
(a) Não;
.
(b) Zeros (aproximações): ,
,
.
(c) Cada zero é um ponto de equilíbrio (lucro zero). Em particular, a empresa tem equilíbrio aproximadamente nas quantidades indicadas; entre essas raízes o sinal de indica lucro ou prejuízo conforme explicado acima.
(b) Zeros (aproximações):
(c) Cada zero é um ponto de equilíbrio (lucro zero). Em particular, a empresa tem equilíbrio aproximadamente nas quantidades indicadas; entre essas raízes o sinal de