Questão 3

Uma empresa modela o lucro por \mathrm{L}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-5 \mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+8. Zeros representam o ponto de equilíbrio.
a) Verifique pelo Teorema do Resto se \mathrm{x}=2 é raiz.
b) Encontre outro valor que zere o lucro.
c) Interprete no contexto.
Objetivo:
  • Relacionar polinômios ao cotidiano.

Passo 1

O enunciado dá o lucro modelado por L(x)=x^{3}-5x^{2}-2x+8 e pede três coisas:
  • (a) Verificar, usando o Teorema do Resto, se x=2 é raiz de L(x).
  • (b) Encontrar outro valor que zere o lucro (ou seja, um valor de x tal que L(x)=0).
  • (c) Interpretar esse(s) zero(s) no contexto (o que significa para a empresa).
Informações relevantes dadas:
  • A função polinomial é \;L(x)=x^{3}-5x^{2}-2x+8.
  • “Zeros” da função representam pontos de equilíbrio (lucro zero).

Passo 2

Primeiro, o Teorema do Resto (também chamado Teorema do Valor) diz o seguinte de forma simples: ao dividir um polinômio P(x) por (x-a), o resto é P(a). Em particular, a é raiz de P se, e somente se, P(a)=0.
Aplicando isso aqui com a=2: calcular \;L(2).
L(2)=2^{3}-5\cdot 2^{2}-2\cdot 2+8.
Calcule passo a passo:
2^{3}=8,\qquad 5\cdot 2^{2}=5\cdot4=20,\qquad 2\cdot2=4.
Então
L(2)=8-20-4+8=8+8-20-4=16-24=-8.
Como \;L(2)=-8\neq 0, o resto da divisão por (x-2) é -8 e, pelo Teorema do Resto, \;x=2 NÃO é raiz.

Passo 3

Agora queremos encontrar valores de x tais que L(x)=0. Uma forma comum de começar é tentar o Teorema das Raízes Racionais: quaisquer raízes racionais da forma \dfrac{p}{q} têm p divisor do termo independente 8 e q divisor do coeficiente líder 1. Assim, os candidatos racionais são
\pm 1,\\ \pm 2,\\ \pm 4,\\ \pm 8.
Vamos avaliar L(x) nesses candidatos para ver se algum zera.
Calculemos alguns valores:
L(1)=1-5-2+8=2,
L(-1)=-1-5+2+8=4,
L(2)=-8\quad\text{(já calculado)},á
L(-2)=-8-20+4+8=-16,
L(4)=64-80-8+8=-16,
L(-4)=-64-80+8+8=-128,
L(5)=125-125-10+8=-2,
L(6)=216-180-12+8=32.
Nenhum dos candidatos racionais usuais \pm1,\pm2,\pm4,\pm8 deu 0; logo não há raiz racional entre esses simples candidatos.

Passo 4

Mesmo sem achar raízes racionais, podemos localizar intervalos onde há raiz real usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se f é contínua e toma sinais opostos em extremos de um intervalo, então existe uma raiz nesse intervalo.
Das avaliações anteiores observamos sinais:
L(-2)=-16\quad\text{e}\quad L(-1)=4,
logo existe pelo menos uma raiz em (-2,-1).
Também
L(1)=2\quad\text{e}\quad L(2)=-8,
logo existe pelo menos uma raiz em (1,2).
E
L(5)=-2\quad\text{e}\quad L(6)=32,
logo existe pelo menos uma raiz em (5,6).
Como L(x) é um polinômio de grau 3 com coeficiente líder positivo, conclui-se que há exatamente três raízes reais (uma em cada um desses intervalos): o polinômio muda de sinal em cada intervalo indicado.

Passo 5

Para encontrar valores numéricos das raízes vamos usar o método de Newton–Raphson (também chamado apenas de Newton): é um método iterativo rápido para aproximar raízes reais quando se tem um palpite inicial. A fórmula da iteração é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
onde f'(x) é a derivada de f. Aqui f(x)=L(x) e
f'(x)=L'(x)=3x^{2}-10x-2.
Explico rápido: f(x) é a função cujo zero procuramos; f'(x) mostra a inclinação local; Newton usa a reta tangente em x_n para aproximar a interseção com o eixo x, e repete até convergir.
Vou aplicar Newton separadamente em cada intervalo onde garantimos a existência de uma raiz.

Passo 6

Raiz em (1,2). Escolho x_0=1{,}2.
Calcule:
f(1{,}2)=1{,}2^{3}-5\cdot1{,}2^{2}-2\cdot1{,}2+8=1{,}728-7{,}2-2{,}4+8=0{,}128,
f'(1{,}2)=3\cdot1{,}2^{2}-10\cdot1{,}2-2=3\cdot1{,}44-12-2=4{,}32-14=-9{,}68.
Aplicando Newton:
x_{1}=1{,}2-\frac{0{,}128}{-9{,}68}=1{,}2+0{,}013223\approx1{,}213223.
Próxima iteração:
f(1{,}213223)\approx-0{,}000381,\qquad f'(1{,}213223)\approx-9{,}7167,
x_{2}=1{,}213223-\frac{-0{,}000381}{-9{,}7167}\approx1{,}2131849.
A correção já é muito pequena; portanto uma boa aproximação para a raiz desse intervalo é
x\approx1{,}2132.

Passo 7

Raiz em (5,6). Escolho x_0=5{,}1.
Calcule:
f(5{,}1)=5{,}1^{3}-5\cdot5{,}1^{2}-2\cdot5{,}1+8\approx0{,}401,
f'(5{,}1)=3\cdot5{,}1^{2}-10\cdot5{,}1-2\approx25{,}03.
Newton:
x_{1}=5{,}1-\frac{0{,}401}{25{,}03}\approx5{,}08398.
Calculando mais uma iteração fornece
x\approx5{,}0846.
Portanto a raiz desse intervalo é aproximadamente
x\approx5{,}0846.

Passo 8

Raiz em (-2,-1). Escolho x_0=-1{,}3.
Calcule:
f(-1{,}3)\approx -0{,}0469,\qquad f'(-1{,}3)\approx16{,}07.
Newton:
x_{1}=-1{,}3-\frac{-0{,}0469}{16{,}07}\approx-1{,}2971.
Uma iteração adicional confirma convergência rápida; portanto a raiz nesse intervalo é aproximadamente
x\approx-1{,}2971.

Passo 9

Resumo dos zeros encontrados (aproximações):
x\approx-1{,}2971,\qquad x\approx1{,}2132,\qquad x\approx5{,}0846.
Interpretação no contexto da empresa:
  • Cada zero de L(x) é um ponto de equilíbrio (lucro zero): se x for a quantidade vendida (ou outra medida de atividade), nesses valores a empresa não tem lucro nem prejuízo.
  • Como são três zeros reais, a empresa tem três pontos de equilíbrio (uma situação possível quando receitas e custos têm formas polinomiais complexas).
  • Observando os sinais de L(x) nas regiões:
    • Para x< -1{,}2971 tem-se L(x)<0 (prejuízo) — nesse caso valores negativos de x podem não fazer sentido físico; talvez x deva ser não negativo no problema real.
    • Para -1{,}2971<x<1{,}2132 tem-se L(x)>0 (lucro).
    • Para 1{,}2132<x<5{,}0846 tem-se L(x)<0 (prejuízo).
    • Para x>5{,}0846 tem-se L(x)>0 (lucro).
  • Em termos práticos: se x representa unidades vendidas, a empresa tem lucro para quantidades até cerca de 1{,}213 unidades, entra em prejuízo para quantidades entre cerca de 1{,}213 e 5{,}085 unidades, e volta a ter lucro para quantidades acima de cerca de 5{,}085. Como quantidades físicas são inteiras ou escaladas (ex.: milhares), é preciso interpretar essas aproximações no contexto (arredondar, ou ver unidade de medida) para decisões reais.

Resposta

(a) Não; L(2)=-8\neq0.
(b) Zeros (aproximações): x\approx-1{,}2971, x\approx1{,}2132, x\approx5{,}0846.
(c) Cada zero é um ponto de equilíbrio (lucro zero). Em particular, a empresa tem equilíbrio aproximadamente nas quantidades indicadas; entre essas raízes o sinal de L(x) indica lucro ou prejuízo conforme explicado acima.

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