Questão 4

Efetue \left(3 x^{4}-2 x^{3}+x-1\right) \div\left(x^{2}-2\right).
Objetivo:
  • Trabalhar fluência algébrica.

Passo 1

O enunciado pede para efetuar a divisão
\left(3x^{4}-2x^{3}+x-1\right)\div\left(x^{2}-2\right).
Informações fornecidas:
  • Dividendo: P(x)=3x^{4}-2x^{3}+x-1.
  • Divisor: D(x)=x^{2}-2.
  • O que se quer: o quociente Q(x) e o resto R(x), ou seja escrever P(x)=D(x)\,Q(x)+R(x) com \deg(R)<\deg(D).

Passo 2

Escolha do método: como o divisor tem grau 2 (não é da forma x-a), a forma mais direta e segura é usar a divisão de polinômios (divisão algébrica longa), método análogo à divisão de números: a cada passo divide-se o termo de maior grau do que sobra do dividendo pelo termo de maior grau do divisor para obter um termo do quociente; multiplica-se o divisor por esse termo e subtrai-se do resto, repetindo até que o resto tenha grau menor que o divisor.
Conceptos importantes (explicados devagar):
  • Se P(x) e D(x) são polinômios com D\neq0, existem únicos Q(x) e R(x) tais que
P(x)=D(x)\,Q(x)+R(x),
com \deg(R)<\deg(D).
  • Para dividir monômios: \dfrac{a x^{m}}{b x^{n}}=\dfrac{a}{b}x^{m-n} quando m\ge n.

Passo 3

Preparar os polinômios alinhando todas as potências (colocando termos de coeficiente zero quando faltam):
P(x)=3x^{4}-2x^{3}+0x^{2}+1x-1.
D(x)=x^{2}+0x-2.

Passo 4

Dividir o termo de maior grau do que resta (inicialmente 3x^{4}) pelo termo de maior grau do divisor ( x^{2}):
\frac{3x^{4}}{x^{2}}=3x^{2}.
Esse é o primeiro termo do quociente: 3x^{2}.

Passo 5

Multiplicar o divisor por 3x^{2}:
(x^{2}-2)\cdot 3x^{2}=3x^{4}-6x^{2}.

Passo 6

Subtrair esse produto do dividendo atual:
(3x^{4}-2x^{3}+0x^{2}+x-1)-(3x^{4}-6x^{2})=-2x^{3}+6x^{2}+x-1.
Explicando a subtração: 3x^{4}-3x^{4}=0; 0x^{2}-(-6x^{2})=6x^{2}; os outros termos mantêm-se.

Passo 7

Agora dividir o novo termo de maior grau -2x^{3} por x^{2}:
\frac{-2x^{3}}{x^{2}}=-2x.
Esse é o próximo termo do quociente: -2x.

Passo 8

Multiplicar o divisor por -2x:
(x^{2}-2)\cdot(-2x)=-2x^{3}+4x.

Passo 9

Subtrair esse produto do polinômio atual:
(-2x^{3}+6x^{2}+x-1)-(-2x^{3}+4x)=6x^{2}-3x-1.
Detalhe: -2x^{3}-(-2x^{3})=0; x-4x=-3x.

Passo 10

Dividir o termo de maior grau 6x^{2} por x^{2}:
\frac{6x^{2}}{x^{2}}=6.
Esse é o próximo termo do quociente: 6.

Passo 11

Multiplicar o divisor por 6:
(x^{2}-2)\cdot 6=6x^{2}-12.

Passo 12

Subtrair esse produto do polinômio atual:
(6x^{2}-3x-1)-(6x^{2}-12)=-3x+11.
Agora o resto é -3x+11.

Passo 13

Parada: o resto -3x+11 tem grau 1, que é menor que o grau do divisor 2. Portanto a divisão termina. O quociente encontrado é
Q(x)=3x^{2}-2x+6,
e o resto é
R(x)=-3x+11.

Passo 14

Verificação rápida (checar se volta ao polinômio original): calcular D(x)\,Q(x)+R(x).
Primeiro expandir
(x^{2}-2)(3x^{2}-2x+6)=3x^{4}-2x^{3}+0x^{2}+4x-12.
Somando o resto:
3x^{4}-2x^{3}+0x^{2}+4x-12+(-3x+11)=3x^{4}-2x^{3}+x-1,
que é exatamente P(x). Está correto.

Resposta

3x^{2}-2x+6+\frac{-3x+11}{x^{2}-2}

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