Questão 4
Efetue
.
Objetivo:
- Trabalhar fluência algébrica.
Passo 1
O enunciado pede para efetuar a divisão
Informações fornecidas:
- Dividendo:
. - Divisor:
. - O que se quer: o quociente
e o resto , ou seja escrever com .
Passo 2
Escolha do método: como o divisor tem grau
(não é da forma
), a forma mais direta e segura é usar a divisão de polinômios (divisão algébrica longa), método análogo à divisão de números: a cada passo divide-se o termo de maior grau do que sobra do dividendo pelo termo de maior grau do divisor para obter um termo do quociente; multiplica-se o divisor por esse termo e subtrai-se do resto, repetindo até que o resto tenha grau menor que o divisor.
Conceptos importantes (explicados devagar):
- Se
e são polinômios com , existem únicos e tais que
com
.
- Para dividir monômios:
quando .
Passo 3
Preparar os polinômios alinhando todas as potências (colocando termos de coeficiente zero quando faltam):
Passo 4
Dividir o termo de maior grau do que resta (inicialmente
) pelo termo de maior grau do divisor (
):
Esse é o primeiro termo do quociente:
.
Passo 5
Multiplicar o divisor por
:
Passo 6
Subtrair esse produto do dividendo atual:
Explicando a subtração:
;
; os outros termos mantêm-se.
Passo 7
Agora dividir o novo termo de maior grau
por
:
Esse é o próximo termo do quociente:
.
Passo 8
Multiplicar o divisor por
:
Passo 9
Subtrair esse produto do polinômio atual:
Detalhe:
;
.
Passo 10
Dividir o termo de maior grau
por
:
Esse é o próximo termo do quociente:
.
Passo 11
Multiplicar o divisor por
:
Passo 12
Subtrair esse produto do polinômio atual:
Agora o resto é
.
Passo 13
Parada: o resto
tem grau
, que é menor que o grau do divisor
. Portanto a divisão termina. O quociente encontrado é
e o resto é
Passo 14
Verificação rápida (checar se volta ao polinômio original): calcular
.
Primeiro expandir
Primeiro expandir
Somando o resto:
que é exatamente
. Está correto.