Questão 2 \mathrm{Um} \mathrm{mol}(\mathrm{n}=1 \mathrm{~mol}) de um gás ideal monoatômico ( C_{V}=32 \mathrm{R} ) passa por uma transformação politrópica de um estado inicial com pressão P_{i}=2,0 \mathrm{~atm} e volume V_{i}=5,0 \mathrm{~L} para um estado final com volume V_{f}=10,0 \mathrm{~L}. Durante a transformação, a relação entre pressão e volume segue a lei politrópica: P V^{N}= constante, sendo o expoente politrópico \mathrm{N}=1,4. Considere \mathrm{R}=0,082 \frac{\mathrm{~atm} . \mathrm{L}}{\mathrm{mol} . \mathrm{K}}, \gamma \approx 1,67 e 1 \mathrm{~atm} . \mathrm{L}=101,325 \mathrm{~J}. (a) Explique o significado físico de um processo politrópico. Dê exemplos de valores de n que correspondem a processos termodinâmicos: Isobárico, Isotérmico, Adiabático e Isocórico. O processo descrito com \mathrm{N}=1,4 está entre quais processos? (b) Determine o trabalho realizado pelo gás durante o processo, expressando o resultado em Joules. Dica: Use a fórmula do trabalho para um processo politrópico: W=\frac{n \Delta T}{1-N}. (c) Comente como o valor de n influencia a quantidade de trabalho realizado, comparando com o caso adiabático e o caso isotérmico para um mesmo intervalo de volumes.

Passo 1

O enunciado descreve 1 mol de um gás ideal monoatômico ( C_V=\tfrac{3}{2}R) que passa de (P_i=2{,}0\;\mathrm{atm},\,V_i=5{,}0\;\mathrm{L}) para V_f=10{,}0\;\mathrm{L} segundo a lei politrópica
P\,V^N=\text{constante},\quad N=1{,}4.
Precisaremos dos conceitos de transformações politrópicas, da equação de estado P\,V=n\,R\,T e da fórmula do trabalho
W=\frac{n\,R\,\Delta T}{1-N}\,.

Passo 2

Um processo é chamado de politrópico quando a pressão e o volume obedecem a P\,V^N= constante com expoente N qualquer. Exemplos especiais:
N=0: isobárico ( P= constante).
N=1: isotérmico ( T= constante).
N=\gamma: adiabático reversível ( Q=0).
N\to\infty: isocórico ( V= constante).

Passo 3

Como 1<N=1{,}4<\gamma\approx1{,}67, essa transformação está entre a isotérmica ( N=1) e a adiabática ( N=\gamma): ocorre com queda de pressão mais rápida que na isotérmica, mas menos rápida que na adiabática.

Passo 4

Usando P_iV_i=nR\,T_i e a lei politrópica para P_f:
T_i=\frac{P_iV_i}{R}=\frac{2{,}0\times5{,}0}{0{,}082}\approx121{,}95\;\mathrm K,
P_f=P_i\Bigl(\frac{V_i}{V_f}\Bigr)^{N}=2{,}0\,(0,5)^{1,4}\approx0{,}758\;\mathrm{atm},
T_f=\frac{P_fV_f}{R}=\frac{0{,}758\times10{,}0}{0{,}082}\approx92{,}42\;\mathrm K,
\Delta T=T_f-T_i\approx-29{,}53\;\mathrm K.

Passo 5

O trabalho realizado pelo gás é
W=\frac{n\,R\,\Delta T}{1-N}=\frac{1\times0{,}082\times(-29{,}53)}{1-1{,}4}\;\mathrm{atm\cdot L} \approx6{,}06\;\mathrm{atm\cdot L}.
Convertendo para joules ( 1\;\mathrm{atm\cdot L}=101{,}325\;\mathrm J):
W\approx6{,}06\times101{,}325\approx614\;\mathrm J.

Passo 6

Para o mesmo \Delta V:
– No isotérmico ( N=1) o trabalho é maior:
W_{\rm iso}=nR\,T_i\ln\frac{V_f}{V_i}\approx1\times0{,}082\times121{,}95\times\ln2\approx6{,}93\;\mathrm{atm\cdot L}\;(703\;\mathrm J).
– No adiabático ( N=\gamma) o trabalho é menor:
W_{\rm ad}=\frac{P_iV_i-P_fV_f}{\gamma-1}\approx5{,}57\;\mathrm{atm\cdot L}\;(564\;\mathrm J).
Portanto, quanto mais N se aproxima de \gamma, menor o trabalho; quanto mais N se aproxima de 1, maior o trabalho.

Resposta

(a) Um processo politrópico satisfaz P\,V^N= constante.
– Isobárico: N=0.
– Isotérmico: N=1.
– Adiabático reversível: N=\gamma.
– Isocórico: N\to\infty.
Aqui N=1{,}4 está entre isotérmico e adiabático.
(b) W\approx614\;\mathrm J.
(c) Para o mesmo intervalo de volume, W diminui quando N aumenta: o isotérmico ( N=1) faz mais trabalho que o politrópico N=1{,}4, que por sua vez faz mais trabalho que o adiabático ( N=\gamma).

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