Questão 19 - Uma panela esférica contém 0,75 \mathrm{~L} de café quente (basicamente água) a uma temperatura inicial de 95,0{ }^{\circ} \mathrm{C}. A panela tem uma emissividade de 0,60 , e o ambiente está a 20,0{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a taxa de perda de calor por radiação do café. A constante de Stefan-Boltzmann é 5,67 \times 10^{-8} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}^{4} . \mathrm{R}:-15,0 \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado descreve uma panela esférica contendo 0,75\:\mathrm{L} de café quente a 95,0{ }^{\circ}\mathrm{C}, num ambiente a 20,0{ }^{\circ}\mathrm{C}. Queremos a taxa de perda de calor por radiação, usando a Lei de Stefan–Boltzmann, que exige calcular a área da superfície esférica e aplicar
\dot Q = -\,\varepsilon\,\sigma\,A\bigl(T_{\text{café}}^{4}-T_{\text{amb}}^{4}\bigr).é

Passo 2

Convertendo o volume em metros cúbicos e obtendo o raio da esfera à partir de
V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3},
temos
V = 0,75\:\mathrm{L} = 0,75\times10^{-3}\:\mathrm{m}^{3} = 7,5\times10^{-4}\:\mathrm{m}^{3},
r = \biggl(\frac{3V}{4\pi}\biggr)^{1/3} = \biggl(\frac{3\cdot7,5\times10^{-4}}{4\pi}\biggr)^{1/3} \approx 0,0563\:\mathrm{m}.
A área da superfície é
A = 4\pi r^{2} \approx 4\pi\,(0,0563)^{2} \approx 0,0398\:\mathrm{m}^{2}.

Passo 3

Converter as temperaturas para Kelvin:
T_{\text{café}} = 95,0{ }^{\circ}\mathrm{C} + 273,15 = 368,15\:\mathrm{K},é
T_{\text{amb}} = 20,0{ }^{\circ}\mathrm{C} + 273,15 = 293,15\:\mathrm{K}.

Passo 4

Aplicando a Lei de Stefan–Boltzmann para potência de radiação:
\dot Q = -\,\varepsilon\,\sigma\,A\bigl(T_{\text{café}}^{4}-T_{\text{amb}}^{4}\bigr),é
onde \varepsilon=0,60 e \sigma=5,67\times10^{-8}\:\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.

Passo 5

Calculando numericamente:
T_{\text{café}}^{4}\approx(368,15)^{4}\approx1,837\times10^{10}, \quad T_{\text{amb}}^{4}\approx(293,15)^{4}\approx7,388\times10^{9},é
\Delta T^{4}=1,837\times10^{10}-7,388\times10^{9}=1,098\times10^{10},
\dot Q = -\,0,60\times5,67\times10^{-8}\times0,0398\times1,098\times10^{10} \approx -15,0\:\mathrm{W}.

Resposta

A taxa de perda de calor por radiação é aproximadamente -15,0\:\mathrm{W}.

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