Questão 4 Considere a dinâmica quântica unidimensional (eixo x ) de uma partícula de massa m sujeita a um potencial de poço finito dado por ( V_{0}>0 )
V(x)=\left\{\begin{array}{rll} 0, & \text { se } & 0<x<L \\\ V_{0}, & \text { se } & x<0 \text { ou } x>L . \end{array}\right.
Considerando que a energia E<V_{0} :
(a) Resolva a equação de Schroedinger independente do tempo
nas três regiões do espaço.
(b) Determine os autovalores de energia no caso do poço infinito, ou seja, V_{0} \rightarrow \infty.
(c) Encontre a distribuição de probabilidade para uma função de onda dada por
\Psi(x, t)=\left\{\begin{array}{rll} 0, & \text { se } & x<0 \text { ou } x>L, \\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_{1}(x) e^{-i E_{1} t / \hbar}+\frac{1}{\sqrt{2}} \psi_{2}(x) e^{-i E_{2} t / \hbar}, & \text { se } & 0<x<L, \end{array}\right.
onde \psi_{1}(x) e \psi_{2}(x) são as autofunções correspondentes aos dois primeiros estados estacionários com energias E_{1} e E_{2}.
Passo 1
O enunciado pede (a) resolver a equação de Schr"odinger independente do tempo para uma partícula de massa m num poço finito de extensão L e altura V_{0}, no caso de estados ligados (E<V_{0}); (b) obter os autovalores de energia quando V_{0}\to\infty; (c) calcular a densidade de probabilidade \lvert\Psi(x,t)\rvert^{2} para uma superposição dos dois primeiros estados estacionários. Vamos usar a forma geral da equação
(a) Em x<0 e x>L: \psi=Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}, com \kappa=\sqrt{\tfrac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}}.
Em 0<x<L: \psi=C\sin(kx)+D\cos(kx), com k=\sqrt{\tfrac{2mE}{\hbar^{2}}}.
(c) \displaystyle \lvert\Psi(x,t)\rvert^{2}=\tfrac{1}{2}\psi_{1}^{2}(x)+\tfrac{1}{2}\psi_{2}^{2}(x)+\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)\cos\bigl((E_{2}-E_{1})t/\hbar\bigr) para 0<x<L, e zero fora.