Questão 4 Considere a dinâmica quântica unidimensional (eixo x ) de uma partícula de massa m sujeita a um potencial de poço finito dado por ( V_{0}>0 )
V(x)=\left\{\begin{array}{rll} 0, & \text { se } & 0<x<L \\\ V_{0}, & \text { se } & x<0 \text { ou } x>L . \end{array}\right.
Considerando que a energia E<V_{0} :
(a) Resolva a equação de Schroedinger independente do tempo
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} \psi(x)+V(x) \psi(x)=E \psi(x),
nas três regiões do espaço.
(b) Determine os autovalores de energia no caso do poço infinito, ou seja, V_{0} \rightarrow \infty.
(c) Encontre a distribuição de probabilidade para uma função de onda dada por
\Psi(x, t)=\left\{\begin{array}{rll} 0, & \text { se } & x<0 \text { ou } x>L, \\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_{1}(x) e^{-i E_{1} t / \hbar}+\frac{1}{\sqrt{2}} \psi_{2}(x) e^{-i E_{2} t / \hbar}, & \text { se } & 0<x<L, \end{array}\right.
onde \psi_{1}(x) e \psi_{2}(x) são as autofunções correspondentes aos dois primeiros estados estacionários com energias E_{1} e E_{2}.

Passo 1

O enunciado pede (a) resolver a equação de Schr"odinger independente do tempo para uma partícula de massa m num poço finito de extensão L e altura V_{0}, no caso de estados ligados ( E<V_{0}); (b) obter os autovalores de energia quando V_{0}\to\infty; (c) calcular a densidade de probabilidade \lvert\Psi(x,t)\rvert^{2} para uma superposição dos dois primeiros estados estacionários. Vamos usar a forma geral da equação
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V(x)\,\psi=E\,\psi
e impor continuidade de \psi e \psi' nas fronteiras.

Passo 2

Na região I ( x<0) e região III ( x>L) o potencial é V_{0}, logo a equação vira
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V_{0}\,\psi=E\,\psi \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=\kappa^{2}\,\psi,
com
\kappa=\sqrt{\frac{2m\bigl(V_{0}-E\bigr)}{\hbar^{2}}}\,.
A solução geral nessas regiões é combinação de exponenciais reais decaindo:
\psi_{\text I}(x)=A\,e^{\kappa x}+B\,e^{-\kappa x},\quad \psi_{\text{III}}(x)=F\,e^{\kappa x}+G\,e^{-\kappa x}.
Para partir de estados ligados, exige-se \psi\to0 à medida que x\to\pm\infty, o que anula termos crescentes.
Na região II ( 0<x<L), V=0 e a equação é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=E\,\psi \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}=-k^{2}\,\psi,
com
k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}}\,.
A solução genérica é:
\psi_{\text{II}}(x)=C\,\sin(kx)+D\,\cos(kx).
Impondo continuidade de \psi e \psi' em x=0 e x=L obtém-se as equações que quantizam E no poço finito (transcendentais em k e \kappa).

Passo 3

No limite V_{0}\to\infty o poço torna-se infinito e obriga \psi(0)=\psi(L)=0. Dentro de 0<x<L sobra
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\;\sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr), \quad n=1,2,\dots
e os autovalores de energia são
E_{n} =\frac{\hbar^{2}k_{n}^{2}}{2m} =\frac{\hbar^{2}}{2m}\Bigl(\frac{n\pi}{L}\Bigr)^{2} =\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}}\,.

Passo 4

Para a função de onda
\Psi(x,t)= \begin{cases} 0,&x<0\text{ ou }x>L,\\\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\psi_{1}(x)e^{-iE_{1}t/\hbar} +\dfrac{1}{\sqrt{2}}\psi_{2}(x)e^{-iE_{2}t/\hbar},&0<x<L, \end{cases}
a densidade de probabilidade é
\lvert\Psi(x,t)\rvert^{2} =\frac{1}{2}\,\bigl\lvert\psi_{1}(x)\bigr\rvert^{2} +\frac{1}{2}\,\bigl\lvert\psi_{2}(x)\bigr\rvert^{2} +\Re\!\Bigl[\psi_{1}^{*}(x)\psi_{2}(x)\,e^{-i(E_{2}-E_{1})t/\hbar}\Bigr].
Como \psi_{n}(x) podem ser tomadas reais, isso vira
\lvert\Psi(x,t)\rvert^{2} =\tfrac{1}{2}\psi_{1}^{2}(x)+\tfrac{1}{2}\psi_{2}^{2}(x) +\psi_{1}(x)\,\psi_{2}(x)\,\cos\!\Bigl(\frac{E_{2}-E_{1}}{\hbar}\,t\Bigr)
para 0<x<L e zero fora.

Resposta

(a) Em x<0 e x>L: \psi=Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}, com \kappa=\sqrt{\tfrac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}}.
Em 0<x<L: \psi=C\sin(kx)+D\cos(kx), com k=\sqrt{\tfrac{2mE}{\hbar^{2}}}.
(b) \displaystyle E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}}, n=1,2,\dots.
(c) \displaystyle \lvert\Psi(x,t)\rvert^{2}=\tfrac{1}{2}\psi_{1}^{2}(x)+\tfrac{1}{2}\psi_{2}^{2}(x)+\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)\cos\bigl((E_{2}-E_{1})t/\hbar\bigr) para 0<x<L, e zero fora.

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