Questāo 1(8 \mathrm{pts}) : Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdaderra, explique o por quê. Caso contrário, explique o por quê ou dê um exemplo que é falso.
A derivada de uma funçāo constante é zero.

Passo 1

Enunciado: Determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação é: “A derivada de uma função constante é zero.”
Informações dadas: a afirmação fala sobre “função constante” e sobre “derivada”. O pedido é decidir verdadeiro/falso e justificar (ou dar contraexemplo).

Passo 2

Lembrete: a definição (padrão) de derivada num ponto x é a seguinte. Se f é uma função real e existe o limite
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
então dizemos que f é diferenciável em x e o valor desse limite é a derivada f'(x). Aqui h representa um pequeno incremento em x; a expressão dentro do limite é a “taxa média de variação” de f no intervalo de comprimento h.

Passo 3

Definição de função constante: uma função f é dita constante em um conjunto se existe um número real c tal que para todo x no domínio vale
f(x)=c.
Ou seja, o valor da função não depende de x.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de derivada a uma função constante. Suponha f(x)=c para todo x em um intervalo (ou em pontos com densidade suficiente para o limite fazer sentido). Então, para qualquer x do domínio,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{c-c}{h}=\frac{0}{h}=0\quad\text{para }h\neq0.
A expressão dentro do limite é a constante 0 (sempre que h\neq0). Portanto o limite é simplesmente
f'(x)=\lim_{h\to0}0=0.
Logo a derivada existe em todo ponto considerado e vale 0.

Passo 5

Explicação didática e intuição: a derivada mede a taxa de variação instantânea — quanto f muda quando x muda um pouquinho. Se f é constante, ela não muda quando x varia: a variação é sempre 0. Assim faz todo sentido que a taxa de variação instantânea seja 0. Geometricamente, o gráfico de uma função constante é uma reta horizontal, cuja inclinação (coeficiente angular) é 0.

Passo 6

Exemplo concreto e checagem passo a passo: considere f(x)=5. Então
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{5-5}{h}=0,
e portanto f'(x)=0 para todo x. Isso confirma na prática.

Passo 7

Observação sobre hipóteses técnicas: a demonstração acima usa que o domínio tem pontos x+h arbitrariamente próximos de x (por exemplo quando f é definida num intervalo). Se o domínio for só um conjunto com pontos isolados (por exemplo a função só for definida em um único ponto), a derivada não é definida porque o limite não faz sentido. Mas, em problemas usuais onde a função constante está definida num intervalo real, a conclusão vale.

Passo 8

Conclusão final: a afirmação é verdadeira — a derivada de uma função constante (definida em um intervalo) é igual a 0 em todos os pontos do domínio onde se aplica a definição.

Resposta

Verdadeiro.

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