Questāo
: Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdaderra, explique o por quê. Caso contrário, explique o por quê ou dê um exemplo que é falso.
A derivada de uma funçāo constante é zero.
A derivada de uma funçāo constante é zero.
Passo 1
Enunciado: Determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação é: “A derivada de uma função constante é zero.”
Informações dadas: a afirmação fala sobre “função constante” e sobre “derivada”. O pedido é decidir verdadeiro/falso e justificar (ou dar contraexemplo).
Informações dadas: a afirmação fala sobre “função constante” e sobre “derivada”. O pedido é decidir verdadeiro/falso e justificar (ou dar contraexemplo).
Passo 2
Lembrete: a definição (padrão) de derivada num ponto
é a seguinte. Se
é uma função real e existe o limite
então dizemos que
é diferenciável em
e o valor desse limite é a derivada
. Aqui
representa um pequeno incremento em
; a expressão dentro do limite é a “taxa média de variação” de
no intervalo de comprimento
.
Passo 3
Definição de função constante: uma função
é dita constante em um conjunto se existe um número real
tal que para todo
no domínio vale
Ou seja, o valor da função não depende de
.
Passo 4
Agora aplicamos a definição de derivada a uma função constante. Suponha
para todo
em um intervalo (ou em pontos com densidade suficiente para o limite fazer sentido). Então, para qualquer
do domínio,
A expressão dentro do limite é a constante
(sempre que
). Portanto o limite é simplesmente
Logo a derivada existe em todo ponto considerado e vale
.
Passo 5
Explicação didática e intuição: a derivada mede a taxa de variação instantânea — quanto
muda quando
muda um pouquinho. Se
é constante, ela não muda quando
varia: a variação é sempre
. Assim faz todo sentido que a taxa de variação instantânea seja
. Geometricamente, o gráfico de uma função constante é uma reta horizontal, cuja inclinação (coeficiente angular) é
.
Passo 6
Exemplo concreto e checagem passo a passo: considere
. Então
e portanto
para todo
. Isso confirma na prática.
Passo 7
Observação sobre hipóteses técnicas: a demonstração acima usa que o domínio tem pontos
arbitrariamente próximos de
(por exemplo quando
é definida num intervalo). Se o domínio for só um conjunto com pontos isolados (por exemplo a função só for definida em um único ponto), a derivada não é definida porque o limite não faz sentido. Mas, em problemas usuais onde a função constante está definida num intervalo real, a conclusão vale.
Passo 8
Conclusão final: a afirmação é verdadeira — a derivada de uma função constante (definida em um intervalo) é igual a
em todos os pontos do domínio onde se aplica a definição.
Resposta
Verdadeiro.