Um elevador pneumático deve ser projetado para um posto de gasolina. Existe ar comprimido disponivel a uma pressão manométrica de 600 KPa .0 elevador deve erguer automóveis de até 3000 Kg . O atrito no mecanismo pistão-cilindro e nos selos de vedação causam uma força de 980 N oposta ao movimento do pistão. Determine o diâmetro do pistão necessário para prover a força de elevação. Que pressão deve ser mantida no cilindro de elevação para abaixar suavemente um carro com uma massa de 895 Kg ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar o diâmetro do pistão necessário para erguer um automóvel de massa 3000\\ \text{kg} usando ar comprimido disponível a uma pressão manométrica de 600\\ \text{kPa}, sabendo que o atrito opõe uma força de 980\\ \text{N}.
  • Determinar que pressão deve ser mantida no cilindro para abaixar suavemente um carro de massa 895\\ \text{kg}.
Informações fornecidas (pego do enunciado):
  • Pressão manométrica disponível: 600\\ \text{kPa}.
  • Massa do carro para dimensionamento do pistão: 3000\\ \text{kg}.
  • Massa do carro para descida controlada: 895\\ \text{kg}.
  • Força de atrito (oposta ao movimento do pistão): 980\\ \text{N}.
  • Vou usar a aceleração da gravidade padrão \,g=9{,}81\\ \text{m/s}^2\,.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (aula rápida): a pressão aplicada sobre a área do pistão gera uma força. A relação é
F = P \cdot A,
onde F é a força resultante gerada pelo fluido sobre o pistão, P é a pressão (no caso uso pressão manométrica, que já é a pressão acima da atmosférica) e A é a área do pistão.
A área de um pistão circular de diâmetro d é
A = \frac{\pi d^2}{4},
onde \pi é a constante (aprox. 3{,}1416).
Para erguer o carro, a força disponível do ar deve vencer o peso do carro mais a força de atrito. Assim a condição de equilíbrio (início do movimento para cima) é
P \cdot A = m g + F_{\text{atrito}}.
Dessa expressão isolamos A e depois d:
A = \frac{m g + F_{\text{atrito}}}{P}, \qquad d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
Observação sobre pressões: como a pressão dada é manométrica ( 600\\ \text{kPa}), ela já representa a pressão efetiva que empurra o pistão além da pressão atmosférica; por isso posso usar diretamente esse valor em P na equação acima.

Passo 3

Aplicando ao caso de elevação do carro de 3000\\ \text{kg}.
Calcular o peso:
m g = 3000 \times 9{,}81 = 29\,430\\ \text{N}.
Somar a força de atrito:
m g + F_{\text{atrito}} = 29\,430 + 980 = 30\,410\\ \text{N}.
Converter a pressão para unidades SI (Pa) para usar nas contas:
P = 600\\ \text{kPa} = 600\,000\\ \text{Pa}.
Área necessária:
A = \frac{30\,410}{600\,000} \approx 0{,}0506833\\ \text{m}^2.

Passo 4

Calcular o diâmetro a partir da área:
d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4\times 0{,}0506833}{\pi}}.
Fazendo a conta:
\frac{4A}{\pi} \approx \frac{0{,}2027332}{3{,}1416} \approx 0{,}06456,
d \approx \sqrt{0{,}06456} \approx 0{,}254\\ \text{m} = 254\\ \text{mm}.
Interpretação prática: um pistão com diâmetro cerca de 0{,}254\\ \text{m} fornecerá a força necessária com a pressão manométrica disponível, já vencendo peso e atrito.

Passo 5

Agora a parte de abaixar suavemente o carro de 895\\ \text{kg}.
Conceito importante sobre atrito: a força de atrito sempre se opõe ao sentido do movimento. Ao abaixar o carro (movimento do pistão para baixo), a força de atrito de 980\\ \text{N} atua para cima (ou seja, ajuda a reduzir a velocidade de descida). Para abaixar suavemente (velocidade constante, sem aceleração), o equilíbrio de forças na direção vertical exige que o peso para baixo seja equilibrado pela soma da força do fluido (para cima) mais a força de atrito (para cima). Assim:
m g = P_{\text{cyl}}\; A + F_{\text{atrito}},
onde P_{\text{cyl}} é a pressão manométrica que deve ser mantida no cilindro durante a descida. Isolando P_{\text{cyl}}:
P_{\text{cyl}} = \frac{m g - F_{\text{atrito}}}{A}.
Nota: uso a mesma área A calculada no dimensionamento do pistão (resultado do Passo 3), porque o pistão é o mesmo.

Passo 6

Cálculo numérico para m=895\\ \text{kg}.
Peso:
m g = 895 \times 9{,}81 = 8\,785{,}95\\ \text{N}.
Subtrair a força de atrito (que atua para cima durante a descida):
m g - F_{\text{atrito}} = 8\,785{,}95 - 980 = 7\,805{,}95\\ \text{N}.
Usar a área obtida antes A \approx 0{,}0506833\\ \text{m}^2:
P_{\text{cyl}} = \frac{7\,805{,}95}{0{,}0506833} \approx 153\,996\\ \text{Pa} \approx 154\\ \text{kPa}.
Interpretação: mantendo a pressão no cilindro em cerca de 154\\ \text{kPa} (manométrica), o carro de 895\\ \text{kg} descerá com velocidade aproximadamente constante (abaixo suavemente), pois o peso será equilibrado pela força do fluido mais o atrito.

Resposta

d \approx 0{,}254\\ \text{m} \;(\approx 254\\ \text{mm})
P_{\text{cyl}} \approx 154\\ \text{kPa}

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