Questão 1: Maximização de Receita. Dada a função de demanda
, onde
é o preço e
é a quantidade, obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita.
Passo 1
O enunciado dá a função de demanda e pede o preço que maximiza a receita. Informações fornecidas:
onde
é o preço por unidade e
é a quantidade vendida. Pergunta: qual o valor de
que deve ser cobrado para maximizar a receita?
Passo 2
Definir a função receita. A receita total
é o produto do preço pela quantidade vendida. Em símbolos:
Aqui
é a receita em função da quantidade
,
é o preço por unidade e
é a quantidade vendida.
Passo 3
Substituir a função demanda na receita para obter
em termos apenas de
. Como
, temos:
Desenvolvendo o produto:
Passo 4
Explicação rápida sobre derivadas (a ferramenta que usamos): a derivada
mede a taxa de variação da receita quando mudamos a quantidade
. Para encontrar máximos e mínimos de uma função, calculamos
e procuramos onde ela é zero (pontos críticos). Regra usada: a derivada de
é
. Aplicando isso a cada termo de
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto:
Passo 5
Encontrar ponto crítico resolvendo
:
Isso significa que, vendendo
unidades, a receita está num ponto estacionário (possível máximo).
Passo 6
Teste de segunda derivada para confirmar que é máximo. A segunda derivada é a derivada de
:
Como
para todo
, a função é côncava para baixo e o ponto crítico
é um máximo local (e neste caso global para essa parábola).
Passo 7
Calcular o preço correspondente a
usando a função demanda:
Logo, o preço que maximiza a receita é
(unidades monetárias).
Passo 8
Comentário final rápido estilo amigo: basicamente transformamos a demanda em receita, achamos a quantidade que zera a derivada (onde a receita para de crescer) e verificamos com a segunda derivada que esse ponto é mesmo um máximo. Dá para fazer isso à mão rápido na prova — lembra das duas regras: montar
e resolver
.