Questão 1: Maximização de Receita. Dada a função de demanda \mathbf{P = 4 0 - 2 x}, onde P é o preço e x é a quantidade, obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita.

Passo 1

O enunciado dá a função de demanda e pede o preço que maximiza a receita. Informações fornecidas:
P = 40 - 2x
onde \;P\; é o preço por unidade e \;x\; é a quantidade vendida. Pergunta: qual o valor de \;P\; que deve ser cobrado para maximizar a receita?

Passo 2

Definir a função receita. A receita total \;R\; é o produto do preço pela quantidade vendida. Em símbolos:
R(x)=P\cdot x.
Aqui \;R(x)\; é a receita em função da quantidade \;x\;, \;P\; é o preço por unidade e \;x\; é a quantidade vendida.

Passo 3

Substituir a função demanda na receita para obter \;R\; em termos apenas de \;x\;. Como \;P=40-2x\;, temos:
R(x)=(40-2x)\,x.
Desenvolvendo o produto:
R(x)=40x-2x^2.

Passo 4

Explicação rápida sobre derivadas (a ferramenta que usamos): a derivada \;R'(x)\; mede a taxa de variação da receita quando mudamos a quantidade \;x\;. Para encontrar máximos e mínimos de uma função, calculamos \;R'(x)\; e procuramos onde ela é zero (pontos críticos). Regra usada: a derivada de \;ax^n\; é \;n\,a x^{n-1}\;. Aplicando isso a cada termo de \;R(x)=40x-2x^2\;:
  • Derivada de \;40x\; é \;40\;.
  • Derivada de \;-2x^2\; é -2\cdot 2x = -4x.
Portanto:
R'(x)=40-4x.

Passo 5

Encontrar ponto crítico resolvendo \;R'(x)=0\;:
40-4x=0 \quad\Rightarrow\quad 4x=40 \quad\Rightarrow\quad x=10.
Isso significa que, vendendo \;10\; unidades, a receita está num ponto estacionário (possível máximo).

Passo 6

Teste de segunda derivada para confirmar que é máximo. A segunda derivada é a derivada de \;R'(x)\;:
R''(x) = \frac{d}{dx}(40-4x) = -4.
Como \;R''(x)=-4<0\; para todo \;x\;, a função é côncava para baixo e o ponto crítico \;x=10\; é um máximo local (e neste caso global para essa parábola).

Passo 7

Calcular o preço correspondente a \;x=10\; usando a função demanda:
P = 40 - 2x = 40 - 2\cdot 10 = 40 - 20 = 20.
Logo, o preço que maximiza a receita é \;20\; (unidades monetárias).

Passo 8

Comentário final rápido estilo amigo: basicamente transformamos a demanda em receita, achamos a quantidade que zera a derivada (onde a receita para de crescer) e verificamos com a segunda derivada que esse ponto é mesmo um máximo. Dá para fazer isso à mão rápido na prova — lembra das duas regras: montar R(x)=P(x)\,x e resolver R'(x)=0.

Resposta

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