h) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt[3]{2+3 x^{3}}\right)

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt[3]{2+3x^{3}}\right).
Informações dadas: a expressão envolve x tendendo para +\infty e uma raiz cúbica de 2+3x^3. A pergunta é única: determinar esse limite (um número finito, +\infty ou -\infty).

Passo 2

Observação algébrica útil: para x>0 podemos fatorar x^3 dentro da raiz cúbica. Usando \sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} e que x é positivo quando x\to+\infty, temos
\sqrt[3]{2+3x^{3}}=\sqrt[3]{x^{3}\left(3+\frac{2}{x^{3}}\right)}=x\sqrt[3]{3+\frac{2}{x^{3}}}.
Portanto a expressão fica
x-\sqrt[3]{2+3x^{3}}=x\left(1-\sqrt[3]{3+\frac{2}{x^{3}}}\right).

Passo 3

Agora analisamos a parte entre parênteses. A função raiz cúbica é contínua em \mathbb{R}, logo podemos passar o limite para dentro:
\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{3+\frac{2}{x^{3}}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to+\infty}\left(3+\frac{2}{x^{3}}\right)}=\sqrt[3]{3}.
Assim
\lim_{x\to+\infty}\left(1-\sqrt[3]{3+\frac{2}{x^{3}}}\right)=1-\sqrt[3]{3}.

Passo 4

Calculemos o sinal da constante 1-\sqrt[3]{3}. Como \sqrt[3]{3}>1 (aproximadamente \sqrt[3]{3}\approx1{,}442), temos
1-\sqrt[3]{3}<0.
Portanto o fator entre parênteses tende para uma constante negativa.

Passo 5

Juntando: a expressão original é x vezes um termo que tende para uma constante negativa. Ou seja, chamando c=1-\sqrt[3]{3}<0,
x\left(1-\sqrt[3]{3+\frac{2}{x^{3}}}\right)\longrightarrow x\cdot c.
Como x\to+\infty e c<0, o produto tende para -\infty. (Rigor: para x suficientemente grande o parênteses fica menor que c/2<0, então o produto é menor que (c/2)x e esse tende a -\infty.)

Resposta

-\infty

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