Calcule.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{x^{2}+3 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende para +\infty:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^{2}+3x+1}.
Informações entregues pelo enunciado:
\text{a função é }f(x)=\frac{x}{x^{2}+3x+1}\quad\text{e estamos interessados em }x\to+\infty.çãé

Passo 2

Vamos entender qualitativamente o que o enunciado dá: no numerador temos um termo que cresce como \,x (grau 1) e no denominador temos termos com maior potência dominante, o termo x^{2} (grau 2). Intuitivamente, quando x fica muito grande, o denominador cresce muito mais rápido do que o numerador, então a fração tende a zero. Vou transformar isso em contas rigorosas, passo a passo, para você poder reproduzir na prova.

Passo 3

Uma técnica simples e segura é dividir numerador e denominador por uma potência de x. Aqui podemos dividir por x (qualquer potência que simplifique a expressão serve; às vezes dividimos pela maior potência do denominador, que é x^{2}, mas dividir por x já deixa a forma bem clara). Fazendo isso obtemos:
\frac{x}{x^{2}+3x+1}=\frac{x/x}{x^{2}/x+3x/x+1/x}=\frac{1}{x+3+\dfrac{1}{x}}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento quando x\to+\infty. Sabemos que
\lim_{x\to+\infty} x = +\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto o denominador da forma obtida, x+3+\dfrac{1}{x}, tende para +\infty quando x\to+\infty. Logo a fração inteira tende para 0. Para deixar isso bem rigoroso, podemos usar uma desigualdade simples.

Passo 5

Para x\ge 1 temos \dfrac{1}{x}\ge 0, então
x+3+\dfrac{1}{x}\ge x.
Assim, para x\ge 1,
0<\frac{1}{x+3+\dfrac{1}{x}}\le\frac{1}{x}.
Como \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0, pelo Teorema do Aperto (ou Teorema do Confronto / Squeeze), segue que
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x+3+\dfrac{1}{x}}=0.
Concluímos que o limite original é 0. Dica rápida para provas: ao ver limites de frações racionais quando x\to\pm\infty, compare os graus dos polinômios — se o grau do numerador for menor que o do denominador, o limite é 0; se forem iguais, é a razão dos coeficientes líderes; se o numerador for de grau maior, o limite costuma ser \pm\infty dependendo dos sinais.

Resposta

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