Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende para
:
Informações entregues pelo enunciado:
Passo 2
Vamos entender qualitativamente o que o enunciado dá: no numerador temos um termo que cresce como
(grau 1) e no denominador temos termos com maior potência dominante, o termo
(grau 2). Intuitivamente, quando
fica muito grande, o denominador cresce muito mais rápido do que o numerador, então a fração tende a zero. Vou transformar isso em contas rigorosas, passo a passo, para você poder reproduzir na prova.
Passo 3
Uma técnica simples e segura é dividir numerador e denominador por uma potência de
. Aqui podemos dividir por
(qualquer potência que simplifique a expressão serve; às vezes dividimos pela maior potência do denominador, que é
, mas dividir por
já deixa a forma bem clara). Fazendo isso obtemos:
Passo 4
Agora analisamos o comportamento quando
. Sabemos que
Portanto o denominador da forma obtida,
, tende para
quando
. Logo a fração inteira tende para
. Para deixar isso bem rigoroso, podemos usar uma desigualdade simples.
Passo 5
Para
temos
, então
Assim, para
,
Como
, pelo Teorema do Aperto (ou Teorema do Confronto / Squeeze), segue que
Concluímos que o limite original é
. Dica rápida para provas: ao ver limites de frações racionais quando
, compare os graus dos polinômios — se o grau do numerador for menor que o do denominador, o limite é
; se forem iguais, é a razão dos coeficientes líderes; se o numerador for de grau maior, o limite costuma ser
dependendo dos sinais.